Программа и индивидуальные учебно - исследовательские задания по дисциплине «Высшая математика» (стр. 1 )

УКРАИНСКИЙ МОРСКОЙ ИНСТИТУТ

Программа и индивидуальные

учебно - исследовательские задания

по дисциплине «Высшая математика»

( Для специальностей «Судовождение», «Судомеханика», «Электромеханика» )

Севастополь

2008г.

УДК 517.031

– доктор технических наук, профессор

Программа и индивидуальные и учебно-исследовательские задания по дисциплине «Высшая математика»

Методические указания по изучению учебной дисциплины «Высшая математика» для студентов I и II курсов дневной и заочной форм обучения инженерных специальностей. – Севастополь: УМИ, 2008. – 34 с.

Рецензент:доктор техн. наук, профессор

Методические указания утверждены на заседании кафедры естественно-научных дисциплин УМИ

Протокол № 4 от 01.01.01г.

Рекомендовано к печати учебно-методическим советом УМИ

Протокол № 2 от 01.01.01г.

Программа и индивидуальные учебно - исследовательские задания по дисциплине «Высшая математика» для специальностей «Судовождение», «Эксплуатация судовых энергетических установок», «Судомеханика», «Электромеханика»

ПЕРВЫЙ КУРС

МОДУЛЬ 1. Тема 1. Линейная и векторная алгебра

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

Вопросы к экзамену по материалу главы 1

1. Определители 2 и 3 – го порядков, вычисление, свойство.

2. Правила Крамера.

3. Минор, алгебраического дополнение, разложение определителя по элементам ряда.

4.Матрицы, частные виды матриц.

5. Операции с матрицами.

6. Обратная матрица, ее вычисление.

7. Матричный метод решения систем уравнений.

8. Метод Гаусса.

9. Ранг матрицы и его вычисление.

10. Комплексные числа, формы записи комплексных чисел, вычисление модуля и аргумента комплексного числа.

11. Алгебраические действия с комплексными числами.

12. Комплексные корни квадратного алгебраического уравнения.

13. Векторы, коллинеарность, компланарность, равенство векторов.

14. Разложение вектора по базису.

15. Умножение вектора на число, сложение векторов.

16. Скалярное произведение векторов.

17. Векторное произведение векторов.

18. Смешанное произведение трех векторов.

Задачи для самостоятельной работы

ЗАДАНИЕ 1

Дана система линейных уравнений. Решить ее тремя способами: а) по правилу Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса. Проверить полученное решение.

 

1.1  7х1 + 2х2 + х3 = 6, 1.2 5х1 + 4х2 +3х3 = 6,

5х1 + 3х2 + 2х3 = 4, 2х1 + х2 + 3х3 = 0,

х1 + 3х2 + 2х3 = 0. х1 + 2х2 + 4х3 = -1.

 

1.3 8х1 +3х2 + 2х3 = -3 , 1.4 6х1 + 7х2 + 5х3 =-3,

7х1 + 2х2 + 4х2 = -1, 5х1 + 4х2 + 3х3 = 0,

5х1 +6х2 +5х3 = 6 . 3х1 + 2х2 +х3 = 0.

1.5 8х1 + 7х2 +6х3 = -12, 1.6 х1 + 2х2 + х3 = 0,

6х1 + 5х2 + 4х3 = -8 2х1 + 4х2 +5х3 = 11,

4х1 +3х2 + х3 = -3 3х1 – 8х2 +10х3 = 5.

 

1.7 2х1 – 2х2 –3х3 = -3, 1.8 х1 + 3х2 + 2х3 = 7,

х1 + 2х2 + 4х3 = 1, х1 – х2 =1,

2х1 + х2 +3х3 = -3. 2х1 + 4х2 + х3 = 9.

 

1.9 2х1 + 2х2 + х3 = 3, 1.10 х1 + 3х2 + 7х3 = 0,

3х1 + х2 +х3 = 6, х1 + 5х2 +2х3 = 9,

х1 + 2х2 + х3 = 1. 3х1 + 2х2 +х3 = 6.

ОТВЕТЫ

1.1. х1 =1, х2 = -1, х3 =х1 = 1, х2 = 1, х3 = -1.

1.3 х1 = -1, х2 = 1, х3 =х1=1, х2= -2, х3=1.

1.5 х1 = 1, х2 = -2, х3 = х1=1, х2 = 1, х3=1.

1.7 х1 = 1, х2 = 10, х3 = х1= 2, х2 = 1, х3 = 1.

1.9 х1 = 2, х2 =-1, х3 =х1=1, х2= 2, х3=-1.

ЗАДАНИЕ 2

а) Заданы два комплексных числа Z1 и Z2. Вычислить выражение Z1 Z2 ;

b) Найти корни двух квадратных уравнений.

2.1 а) z1 =1-3i, z2 = -8 + 4i; b) 1)х2 + 4х + 5 = 0; 2) х2+4 = 0.

2.2 а) z1 =2 – 3i, z2 = -7 + 4i; b) 1)х2 + 1 = 0; 2) х2- х2 + 26 = 0.

2.3 а) z1 = 1 + 4i, z2 = -8 + 2i ; b)1)х2 - х2 +17 = 0; 2)х2 + 9 = 0;

2.4 а) z1 = 2 – 4i, z2 =-8 + 5i; b)1)х2 + 25 = 0; 2)х2+2х + 5 = 0.

2.5 а) z1 = -1 + 3i, z2 = 8 – 4i ; b) 1)х2 - 4х + 5 = 0; 2)х2 + 49 = 0.

2.6 а) z1 = - 2 +3i, z2 = 7 - 4i; b)1)х2+ 100 = 0; 2)х2+2х + 26 = 0.

2.7 а) z1 = -2 – 4i, z2=3 + 8i; b)1)х2 +2х + 17 = 0; 2)х2+64 = 0.

2.8 а) z1 = -2 + 6i, z2 = -7 + 2i; b)1)х2- 6х + 10 = 0; 2)х2+81 = 0.

2.9 а) z1 = 1 + 2i, z2 = -9- i; b)1)х2 +121 = 0; 2)х2+4х + 13 = 0.
2.10 а) z1= 1- 3i, z2 = -3 + 4i; b) 1)х2 -6х + 13 = 0; 2)х2+144 = 0.

ОТВЕТЫ

2.1 а) 2 + 26i, b)1)-2 ± i, 2) ±2i, 2.2 а) -4 + 28i,

b)1)±i, 2)1 ± 5i. 2.3 а) -16-28i, b)1)1 ± 4i, 2)+3i. 2.4 а) 2,2 + 40,9i,

b)1)±5i, 2)-1±2i. 2.5 а)2 + 26i, b)1)2±i, 2)±7i. 2.6 а) -4 + 28i,

b)1)±10, -1±5i. 2.7 а) 24.1-28,2i, b)1)-1 ± 4i, 2)± 8i.

2.8 а)2,65-45,05i, b)1)3±i, 2)±9i, 2.9 а) -9,2-15,6i,

b)1)±11i 2)-2 + 3i. 2.10 а) 7.5 + 12,5i, b)1)3±2i, 2)±12i.

ЗАДАНИЕ 3

Даны векторы ,

Показать, что векторы образуют базис трёхмерного линейного пространства

и найти координаты вектор в этом базисе.

3.1

3.2 (1,3,0), (2,-1,1), (0-12), (6,12,-1).

3.3 (2,1,-1), (0,3,2), (1,-1,1), (1,-4,4).

3.4 (4,1,1), (2,0,-3), (-1,2,1), (- 9,5,5).
3.5 (-2,0,1), (1,3,-1), (0,4,1), (-5,-5,5).

3.6 (5,1,0), (2,-1,3), (1,0,-1), (13,2,7).

3.7 (0,1,1), (- 2,0,1), (3,1,0), (-19,-1,7).

3.8 (1,0,2), (0,1,1), (2,-1,4), (3,-3,4).

3.9 (3,1,0), (-1,2,1), (-1,0,2), (3,3,-1).

3.10 (-1,2,1),(2,0,3), (1,1,-1), (-1,7,-4).

ОТВЕТЫ

2.1 2.2 2.3

2.4 2.5 2.6

2.7 2.8 2.9

ЗАДАНИЕ 4

Вычислить работу А силы при перемещении материальной точки из положения N в положение М.

4.1 А(3,-3,1), В(2,-1,0), (1,2,-4), 4.2 А(2,-1,-3), В(0,4,5), (3,3-3).

4.3 А(-1,2,3), В(0,-3,6), (2,-2,А(2,3,4,), В(-3,0,5), (2,-3,1).

4.9 А(2,1,3), В(0,2,1), (-1,2,А(2,-1,3), В(1,3,0), (2,-2,3).

ЗАДАНИЕ 5

Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А, В,С.

5.1 А(1,3,6), В(2,2,1), С(-1,0,1). Ответ : S = 9,354.

5.2 A(-4.2.6), В(2,-3,0), С(-10,5,8). Ответ : S = 14,0.

5,3 А(7,2,4), В(7,-1,-2), С(3,3,1). Ответ : S = 15,37.

5.4 А(2,1,4), В(-1,5,-2), С(-7,-3,2). Ответ : S = 37,528.

5.5 А(-1,-5,2), В(-6,0,-3), С(3,6,-3). Ответ : S: = 46,233.

5.6 А(0,-1,-1), В(-2,3,5), С(1,-5,-9). Ответ : S = 6,708.

5.7 А(5,2,0,), В(-2,5,0), С(1,2,4). Ответ : S = 10,392.

5.8 А(2,-1,-2), В(1,2,), С(5,0-6). Ответ : S = 9,354.

5.9 А(-2,0,-4), В(-1,7,1), С(4,-8,-4). Ответ: S = 35,355.

5,10 А(14,4,5), В(-5,3,2), С(-2,-6,-3), Ответ : S = 66,287.

ЗАДАНИЕ 6

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в точках А, В,С, D.

6.1 А(1,2,0), В(3,0,-3), С(5,2,6), D(8,4,-9).

6.2 А(2,-1,2), В(1,2-1), С(3,2,1), D(-4,2,5).

6.3 А(1,12), В(-1,13), С(6,3,7), D(-1,0,-2).

6.4 А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D(7,5,-3).

6.5 А(1,1-1), В(2,3,1), С(3,2,1), D(5,9,-8).

6.6 А(1,5,-7), В(-3,6,3), С(-2,7,3), D(-4,8,-12).

6.7 А(-3,4-7), В(1,5-4), С(-5,-2,0), D(2,5,4).

6.8 А(-1,2-3), В(4,-1,0), С(2,1,-2), D(3,4,5).

6.9 А(-4,-1,3), В(-2,1,0), С(0,-5,1), D(3,2-6).

6.10 А(1,-1,1), В(-2,0,3), С(2,1,-1), D(2,-2,-4).

Тема2. Аналитическая геометрия

2.5  Вопросы и задачи для самостоятельной работы

Вопросы к экзамену по материалу главы 2:

1. Уравнение прямой линии на плоскости.

2. Уравнение плоскости в пространстве.

3.Эллипс.

4. Гипербола.

5. Парабола.

Задачи для самостоятельной работы

ЗАДАНИЕ 1

Заданы прямая L и точка М. Требуется: а) вычислить расстояние p(M, L) от точки
М до прямой; б) написать уравнение прямой L1, проходящей через точку М перпендикулярно прямой L; в) написать уравнение прямой L2, проходящей через точку М параллельно прямой L; г) построить прямые L, L1, L2.
11 L: x-2у-2 = 0, М(l, l) 1.2 L: 2х-у-2=0, М(1,1).

1.3 L: х-2у-4 = 0, М/(l,2) 1.4 L: 2х-у-4=0, М(2,1).

1.5 L: 3x-2y + b = 0, М/(-l,2) 1.6 L: 2х-3у+6=0, М(2,-1).

1.7 L : 3x+4у;-l2=0, M(l,L: х+у+1=0, М(1,3).

1.9 L : x+2у + 2 = 0, М(-l, l) 1.10 L: х+3у+3=0, М(1,1).

ЗАДАНИЕ 2

Даны четыре точки: М1, М2, М3, М0. Требуется, а) написать уравнение плоскости Р, проходящей через точку М1, М2, и М3 б) преобразовать полученное уравне­ние плоскости Р в уравнение плоскости в отрезках и построить её; в) найти расстоя­ние р (Мо, Р) от точки М0 до плоскости Р.

2.1 М1(1,30), M2(4,1,2), М3(3,0,1), М0(4,3,0).

2.2 М1(-2,-1,-1), М2(0,3,2), М3(3,1,-4), Мо(-21,20,-16).

2.3 М1(-3,-5,-6), М2(2,1-4), М3(0,-3,-1), Мо(3,6,86).

2.4 М1(2,-4,-3), М2(5,-6,0), М3(-1,3-3), Мо(2,-10,8).

2.5 М1 (1,-1,2), М2(2,1,2), М3(1,1,4), Mo(-3,2,7).
2.6 М1(1,3,6), M2(2,2,l), М3(-1,0,1), М0(5,-4,5).

2.7 М1(-4,2,6) М2(2,-3,0), М3(-10,5,8), Мо(-12,1,8).

2.8 М1(7,2,4), М2(7,-1,-2), М3 (-5-2-1), М0(10,1,8).

2.9 М1(2,1,4), М2(3,5,-2), M3(-7,-3,2), М0 (-3,1,8).

2.10 М1(-1,-5,2), М2(-6,0,3), М3(3,6-3), Mo(l0,-8,-7).

ЗАДАНИЕ 3

Даны три уравнения кривых второго порядка L1, L2, L3. Требуется: привес­ти уравнения к каноническому виду, определить тип и построить эти кривые.

3.1 L1:4х2+81у2=324; L2: 16у2 -4х2 = 64;
L3:5x2 +9у2-30х + 18у + 9 = 0.

3.2 L,: 9у2 - 49х2 =441; L2: 9х2 + 36у2 = 324;
L3: 16х2 - 9у2 = 64х + 54у = 161.

3.3  L1: 4х2 +9у2 =36; L2: 25x2 -4у2 = 100;
L3:16.x2 + 25у2 + 32х = 100у + 284.

3.4  L1 : 16х2 -9у2 = 144; L2: 25х2 + 9у2 - 225 = 0;
L3:4х2+3у2=8х-12у+32.

3.5  L1: 36х2+9у2 -324 = 0; 2: L2 x2 -16у2 = 400;

L3:9х2-16у2+90х+32у-367=0.

3.6 L1 16x2 +25y2 -400 = 0; L2: 25х2 -9у2 = 225;
L3: 4x2-8x-y + 7 = 0.

3.7 L1:4х2+16у2-64 = 0; L2: 81x2 -4y2 =324;
L3: 16х2 - 9у2 – 64х +18у - 89 = 0.

3.8 L1 :4х2-25у2 -100 = 0; L2: 9x2 +16y2 =144;

L3 : 2у2 – 12у-х+14=0.

3.9 L1: 9х2 - 4y2 = 36; L2 16х2- 25у2 - 400 = 0;

L3 : 4х2-y2 – 8х 6у-9 = 0.

3.10L1 : 9y2 +49х2=441; L2: 4y2 - x2 - 4 = 0;

L3 : 9 х2- 4y2- 36х+24у-36=0.

МОДУЛЬ 2. Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

Вопросы к экзамену по материалу главы 3:

1.  Пределы, свойства пределов.

2.  Свойства бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

3.  Непрерывность функций.

4.  Геометрический смысл производной.

5.  Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.

6.  Дифференциал функции и его свойства.

7.  Применение 1-й и 2-й производных для исследования функций.

8.  Общий план исследования функции и построение графика.

Задачи для самостоятельной работы

Задание 1

1.1 а) b)

c)

1.2 a) b)

c)

1.3 a) b)

c)

1.4 а) b)

c)

1.5 a) b)

c)

1.6 a) b)