(1.1)
где 
и 
– компоненты тензора напряжений и вектора перемещений соответственно.
Рисунок 1 – Слой, ослабленный отверстием
Однородные решения для этого случая построены в [8].
Основная система уравнений связанной термоупругости [2 – 4] после исключения из нее временного множителя 
имеет вид:
(1.2)
Здесь 
– амплитуды перемещений , температуры 
, интенсивностей объемных сил 
и тепловых источников 
соответственно; 
– модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность вещества, 
– коэффициенты линейного теплового расширения, теплопроводности и теплоемкость материала; 
– параметры Ламе, 
и 
– скорости распространения тепловых и механических сдвиговых возбуждений; 
- температура тела в начальном невозбужденном состоянии, 
– круговая частота.
Предполагаем, что вдоль отрезка 
распределены усилия 
или тепловые источники 
с амплитудами
(1.3)
В этом случае полевые величины целесообразно представить в следующем виде
(1.4)
где Te – температура внешней среды.
Исключая при помощи стандартных преобразований из системы (1.2) толщинную координату x3, получаем систему дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье полевых величин. Рассматривая отдельно каждый из четырех вариантов возбуждения, получаем согласно [8] матрицу Ф-решений 
в следующем виде:
(1.5)
Компоненты матрицы Ф-решений имеют вид:
Здесь 
– функция Ганкеля первого рода порядка 
, 
и 
– корни характеристического уравнения
(1.6)
1.2 Интегральные уравнения связанной термоупругости для слоя в 
Воспользовавшись полученными выше Ф-решениями, рассмотрим связанную динамическую задачу термоупругости для цилиндра конечной длины или для слоя с отверстием. Интегральные представления полевых величин, описывающих термоупругое состояние тела, введем как свертку матрицы фундаментальных решений (1.5) с компонентами вектора перемещения и температуры. Соответственно получим
(1.7)
где 
– подлежащие определению «плотности», Г – контур поперечного сечения цилиндра или полости в слое.
Тогда компоненты тензора напряжения представим в виде
(1.8)
где 
– символ Кронекера.
Пусть теперь на поверхности цилиндра или полости S задан вектор напряжения, а тепловой поток удовлетворяет условию теплообмена с внешней средой по закону Ньютона. Тогда граничные условия на S можно записать следующим образом
(1.9)
где
Используя соотношения (1.7) и (1.8), получаем представления для амплитуд тензора напряжений
Здесь 
– относительный коэффициент теплообмена, y – угол между внешней нормалью к контуру Г в точке 
и осью 
.
После выполнения операции предельного перехода в комбинациях (1.9) получаем систему из 4n одномерных сингулярных интегральных уравнений второго рода для каждого фиксированного 
(1.10)
где
При этом следует отметить, что в приведенных формулах (1.10) знак «+» при внеинтегральном слагаемом соответствует так называемой внутренней задаче (цилиндр конечной длины), а знак «–» относится к внешней задаче (слой с полостью). Таким образом, приведенный выше универсальный алгоритм позволяет решить две задачи одновременно. Ядра интегральных уравнений имеют следующий вид:
первое уравнение:
второе уравнение:
третье уравнение:
четвертое уравнение:
В приведенных соотношениях использовались следующие обозначения:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
