Исследование влияния связанности термоупругих полей на распределение напряжений в элементах пространственных конструкций (стр. 3 )

где – угол между положительным направлением нормали в точке и осью .

При выполнении предельного перехода использовались следующие формулы выделения особенностей в интегралах:

При последующей численной реализации бесконечные ряды, представляющие собой компоненты термоупругого поля в рассматриваемом теле, были ограничены первыми членами. Точность численных результатов контролировалась путем их сравнения для различных значений количества точек на контуре. С помощью классического метода механических квадратур

,

, , ,

,

система сингулярных интегральных уравнений (1.10) была сведена к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений неизвестных плотностей в узлах (), которая затем была решена численно модифицированным методом Гаусса с последующим итерационным уточнением решения. Затем восстанавливались компоненты полевых величин.

На основе полученных из системы (1.10) плотностей полевых величин были рассчитаны компоненты термоупругого поля в слое с отверстием и цилиндре конечной длины при различных вариантах нагружения. В качестве основной величины, характеризующей термоупругое состояние тела, было выбрано окружное нормальное напряжение , которое на боковой поверхности цилиндра (отверстия в слое) имеет вид

(1.11)

В результате выполнения операции предельного перехода по формулам Сохоцкого-Племеля на контуре цилиндра или отверстия в слое получаем следующие соотношения:

(1.12)

Знак «+» отвечает внутренней задаче (цилиндр конечной длины), а знак «–» внешней (слой, ослабленный отверстием). Ядра имеют вид:

1.3 Численные результаты

Для определения напряженно-деформированного состояния конечного цилиндра или слоя с полостью рассчитывалась амплитуда окружного нормального напряжения , фигурирующая в формулах (1.11) – (1.12), здесь – характерный линейный размер рассматриваемого тела.

Интегральные уравнения (1.10) решались численно методом механических квадратур, затем восстанавливались компоненты полевых величин. В результате численного эксперимента получены амплитудно-частотные характеристики конечных цилиндров различных поперечных сечений в зависимости от первого относительного волнового числа , а также исследована динамическая концентрация напряжений для слоя конечной толщины с полостями различных поперечных сечений. Показано влияние коэффициента Пуассона на распределение амплитудно-частотных характеристик и динамическую концентрацию напряжений. При этом параметризация контуров поперечных сечений цилиндров или отверстий имеет вид

(1.13)

Формула (1.13) может быть применена для параметризации круговых, эллиптических и квадратных контуров, причем для данных контуров соответственно принимаем: для окружности , для эллипса , для квадрата , .

На рисунках 2 – 5 представлены результаты расчетов влияния коэффициента Пуассона на распределение напряжений в трехмерных телах в предположении, что на тело действует гармонически изменяющееся во времени нормальное давление с амплитудой, распределенной по закону . Основные физические величины, участвующие в расчетах, были зафиксированы для поливинилбутираля, для которого коэффициент связанности полей весьма высок и равен . Расчеты проводились для значений коэффициента Пуассона . Соответствие кривых и коэффициентов Пуассона обозначено подписями на рисунках.

Результаты на рис.2 соответствуют сплошному цилиндру конечной длины кругового поперечного сечения при . Рис. 3 построен для сплошного цилиндра с поперечным сечением в виде квадрата со скругленными углами при аналогичных геометрических параметрах . Выделенные точки на вставках-схемах обозначают расчетные точки.

Из результатов расчетов следует, что для сплошных цилиндров кругового поперечного сечения с увеличением значений коэффициента Пуассона происходит заметное смещение резонансных частот вправо, что является важным научным и практическим результатом, поскольку знание резонансных частот имеет большое значение при проектировании механизмов и конструкций, работающих под воздействием механических и температурных нагрузок. Также наблюдаются незначительные флуктуации амплитуды относительного нормального окружного напряжения – уменьшение амплитуды с ростом значений коэффициента Пуассона при малых значениях относительного волнового числа, и ее увеличение при больших значениях .

Рисунок 2 – Амплитудно-частотные характеристики сплошных цилиндров кругового поперечного сечения для различных коэффициентов Пуассона

Рисунок 3 – Амплитудно-частотные характеристики сплошных цилиндров квадратного поперечного сечения для различных коэффициентов Пуассона

Для сплошных цилиндров квадратного поперечного сечения (квадрат со скругленными углами) наблюдаем некоторое смещение резонансных частот влево, а также уменьшение амплитуд напряжений с ростом коэффициента Пуассона. Это дает возможность в тех случаях, когда это допустимо, рекомендовать к использованию цилиндры с поперечным сечением в виде квадрата со скругленными углами.