где: FV – будущая стоимость (смотри п.1.1), ден. ед.;

PV – настоящая стоимость (смотри п.1.2) , ден. ед.;

i – процентная ставка в долях (смотри п.2.1) в каждом из периодов начисления процентов n;

n – количество периодов начисления процентов, в каждом из которых процентная ставка равна i.

Используя (5), решение модельной задачи 1 принимает вид

Ответ: фактическая общая сумма денег, которую Вы получите по окончании четырех лет будет FV = 1400 грн.

3. МЕХАНИЗМ СЛОЖНОГО НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ ( COMPOUND INTEREST )

Рассмотрим модельную задачу 2.

Условие модельной задачи 2 (условие – жирным шрифтом, пояснения к задаче - обычным).

Вы вложили в коммерческий банк 1000 грн на срок 4 года под 10% годовых на условиях ежегодного сложного начисления процентов. Это означает, что в конце каждого года вы не будете получать в банке проценты. Эти проценты вы будете оставлять в конце каждого года на счету, а на них будут начисляться новые проценты. В конце четвертого года вам вернут ваши 1000 грн, вложенные в начале первого года и проценты, начисленные за все 4 года. Вклад денег в банк называется депозитный вклад. Требуется найти фактическую общую сумму денег, которую Вы получите по окончании четырех лет.

Решение модельной задачи 2

Рассмотрим данную финансовую операцию по этапам:

этап 1: в начале первого года вы положили на депозит 1000 грн;

этап 2: в конце первого года вы имеете на депозитном счету 1100 грн:

1000 грн + 1000 грн * 0,1 = 1000 грн * (1+0,1) = 1100 грн.

100 грн – ваш процент за первый год – вы оставляете в банке этот процент. На начало второго года у вас на депозитном счету уже 1100 грн.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

этап 3: в конце второго года вы имеете на депозитном счету 1210 грн:

1100 грн + 1100 грн * 0,1 = 1100 грн * (1+0,1) = 1210 грн.

Данный расчет можно провести иначе:

1000 грн * (1+0,1) * (1+0,1)=1000 грн * (1+0,1)2=1000 грн * 1,21 =1210 грн.

На начало третьего года у вас на депозитном счету уже 1210 грн.

этап 4: в конце третьего года вы имеете на депозитном счету 1331 грн:

1210 грн + 1210 грн * 0,1 = 1210 грн*(1+0,1) = 1331 грн.

Данный расчет можно провести иначе:

1000 грн * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) = 1000 грн * (1+0,1)3 = 1000 грн * 1,331 = 1331 грн.

На начало четвертого года у вас на депозитном счету уже 1331 грн.

этап 5: в конце четвертого года вы имеете на депозитном счету 1464.1 грн:

1331 грн + 1331 грн * 0.1 = 1331 грн*(1+0,1) = 1464.1 грн.

Данный расчет можно провести иначе:

1000 грн * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) = 1000 грн * (1+0,1)4 = 1000 грн * 1,4641 = 1464,1 грн.

В конце четвертого года вы получите на руки 1464,1 грн.

Итак, в начале первого года вы вложили 1000 грн, а по окончании четырех лет вы получили фактически 1464.1 грн, т. е. вам вернули вложенные вами 1000 грн и начислили в каждом из четырех лет проценты по сложной схеме (начисление процентов на процент), что в сумме составило 464.1 грн процентов.

МЕХАНИЗМ НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ ОБУСЛАВЛИВАЕТ ИХ КАПИТАЛИЗАЦИЮ (возрастание), ТО ЕСТЬ БАЗА, ОТ КОТОРОЙ ИДЕТ НАЧИСЛЕНИЕ, ПОСТОЯННО ВОЗРАСТАЕТ.

В данной модельной задаче 2 вложенные Вами на депозит 1000 грн – это PV, полученные Вами фактически 1464,1 грн – это FV, процентная ставка равна 10% годовых – это i, количество раз начисления процентов – это n.

Из анализа этапов данной модельной задачи 2 можем записать формулу сложного начисления процентов

, (6)

где FV – будущая стоимость (смотри п.1.1), ден. ед.;

PV – настоящая стоимость (смотри п.1.1), ден. ед.;

i – процентная ставка в долях (смотри п.2.1) в каждом из периодов начисления процентов n;

n – количество периодов начисления процентов, в каждом из которых процентная ставка равна i.

Используя (6), решение модельной задачи 2 принимает вид

Ответ: фактическая общая сумма денег, которую вы получите по окончании четырех лет будет FV = 1464,1 грн.

Как видно из модельных задач 1 и 2, разные схемы начисления процентов приводят одинаковые базовые условия вклада (сумма вклада - 1000 грн) к совершенно различным конечным суммам денег. Схема простых процентов дает, в итоге 1400 грн., а схема сложных процентов – 1464,1 грн.

Видим, что схема сложных процентов дает большую будущую стоимость. Поэтому финансисты всего мира считают будущую стоимость по сложной схеме начисления процентов, если иное не оговорено в условиях.

Ö  ЗАПОМНИТЕ: ЕСЛИ В УСЛОВИЯХ НЕ ОГОВАРИВАЕТСЯ СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ (СЛОЖНАЯ ИЛИ ПРОСТАЯ), ТО ВСЕГДА РАСЧЕТ ВЕДЕТСЯ ПО СЛОЖНОЙ СХЕМЕ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ.

Формулы (5) и (6) используются для расчетов с использованием процентных ставок. Если же необходимо выполнить расчет с использованием учетных, ставок то пользуются формулами (7), (8).

Формула начисления простых процентов при использовании учетной ставки:

, (7)

где d –учётная ставка в каждом из n периодов начисления процентов. Значение символов PV, FV, n –то же, что и в формуле (5).

Формула начисления сложных процентов при использовании учетной ставки

. (8)

Суть символов PV, FV. n, d – та же, что и в формуле (7)

Ö  ЗАПОМНИТЕ: ЕСЛИ В УСЛОВИЯХ НЕ УКАЗАНО, КАКУЮ СТАВКУ – УЧЕТНУЮ ИЛИ ПРОЦЕНТНУЮ – ИСПОЛЬЗОВАТЬ ПРИ РАСЧЕТЕ, ТО ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ(формулы(5),(6)). Закрепим полученные знания на примере решения следующих задач

Задача 1

Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. грн при размещении ее в банке на срок 10 лет на условиях начисления: а) простых; б) сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды наращения (начисления) такие:

-  квартал;

-  полугодие;

-  один год;

-  5 лет;

-  10 лет.

Стратегия решения задачи

Для решения поставленной задачи требуется произвести 10 расчетов и получить 10 значений величины FV. Годовая процентная ставка – 15%.

Решение задачи

Условие начисления процентов – простое (вариант а).

1) ежеквартальное начисление процентов (формула (5)):

Для начала подготовим данные, входящие в формулу (5) к нашим условиям задачи: PV = 2 млн. грн., n рассчитаем из знания того, что год имеет 4 квартала, а общее количество лет вклада 10. Следовательно, количество периодов начисления n = 40, процентная ставка в условии задачи дается как годовая, следовательно, для квартала процентная ставка i=0,15/4. Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим

2) полугодовое начисление процентов (формула (5)):

n рассчитаем из знания того, что год имеет 2 полугодия, а общее количество лет вклада 10. Следовательно, количество периодов начисления n=20, процентная ставка в условии задачи дается как годовая, следовательно, для полугодия процентная ставка i=0,15/2. Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим

3) годовое начисление процентов (формула (5)):

n = 10, i = 0,15 Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим:

4) начисление процентов раз в 5 лет (формула (5)):

n рассчитаем из знания того, что в 10 годах есть 2 периода по 5 лет. Следовательно, количество периодов начисления n=2, процентная ставка в условии задачи дается как годовая следовательно, для пятилетнего периода процентная ставка i = 0,15*5. Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим

5) начисление процентов раз в 10 лет (формула (5)):

n рассчитаем из знания того, что в 10 годах содержится 1 период из 10 лет. Следовательно, количество периодов начисления n=1, процентная ставка в условии задачи дается как годовая следовательно, для десятилетнего периода процентная ставка i = 0,15*10. Подготовленные значения подставим в формулу (5), получим:

Условие начисления процентов – сложное (вариант б).

6) ежеквартальное начисление процентов (формула (6)).

Для начала подготовим данные, входящие в формулу (6) к нашим условиям задачи: PV = 2 млн. грн., n рассчитаем из знания того, что год имеет 4 квартала, а общее количество лет вклада 10. Следовательно, количество периодов начисления n =40, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно для квартала процентная ставка i=0,15/4. Подготовленные значения подставим в формулу (6), получим:

7) полугодовое начисление процентов (формула (6)):

n рассчитаем из знания того, что год имеет 2 полугодия, а общее количество лет вклада 10. Следовательно, количество периодов начисления n=20, процентная ставка в условии задачи дается, как годовая, следовательно, для полугодия процентная ставка i=0,15/2. Подготовленные значения подставим в формулу (6), получим

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8