Методика решения текстовых задач (стр. 7 )

24км-это 1.

В задаче известно расстояние между селами (целое-1). Необходимо найти часть его (5/8).

24 км составляют восемь восьмых долей. Сколько км приходится на 1/8 долю?

24 : 8 = 3(км)

За первую неделю заасфальтировали 5 таких долей. Сколько километров заасфальтировали? 3 * 5 = 15(км) Ответ:15 км заасфальтировали за первую неделю.

Запись выражением: 24 : 8 * 5 = 15(км).

24 разделили на знаменатель дроби и полученный результат умножили на числитель.

24 : 8 * 5 = 24/8 * 5 = (24*5) : 8 = 24 * 5/8.

Вывод: для нахождения дроби от числа, нужно число умножить на данную дробь.

2.Нахождение числа по его дроби (обратная задача).

Задача 2. За первую неделю бригада заасфальтировала 15км, что составило 5/8 расстояния между двумя селами. Каково расстояние между двумя селами?

Запишем краткое условие:

Все расстояние - это 1.

5/8 – это 15км.

15км - это 5 долей. Сколько км в одной доле? 15 : 5 = 3(км)

Так как все расстояние содержит 8 таких долей, то найдем его: 3 * 8 = 24(км).

Ответ: расстояние между селами 24 км.

Запишем выражение: 15 : 5 * 8 = 24(км) или 15 : 5 * 8 = 15/5 * 8 = (15*8):5 = 15*8/5 = 15:5/8.

Вывод: для нахождения числа по его дроби, можно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.

Так как проценты можно записать в виде дроби, то нахождение процентов от числа и числа по его процентам находятся аналогично. Для успешного решения задач такого типа нужно научиться различать их, для этого тщательно разобраться в условии.

Советы: 1) Сделать рисунок. На этом рисунке: а) изобразите произвольный отрезок прямой, который изображает известное или неизвестное целое;

б) приблизительно (или точно) изобразите отрезок - известную или неизвестную часть этого целого;

в) над отрезками укажите известные или неизвестные величины, которые они изображают; под ними - соответствующие им известные или неизвестные дроби.

2) Найдите, чему равна одна часть целого.

3) Найдите искомую величину. Запишите ответ.

Изменение величины в процентах.

Часто встречаются величины, значения которых меняются: производительность труда, заработная плата; цена товара, масса детали при обработке и т. д. Изменения величин принято характеризовать с помощью процентов.

Задача. Завод выпустил 884 трактора вместо 850 тракторов, намеченных по плану. На сколько процентов завод перевыполнил план?

Краткое условие:

План-100%, 850 тр.

?%

Факт - 884 тр.

На какое количество тракторов завод выпустил больше, чем по плану? 884-850=34(тр)

Какой процент от плана составляет полученная разность? 34/850=2/50=4/100=4%

Ответ: завод перевыполнил план на 4 %

Вывод: чтобы узнать изменение величины в процентах, нужно узнать, на какое число единиц изменилась эта величина, а затем найти процентное отношение полученной разности к первоначальному значению величины.

Процентное отношение.

1. Решить задачу: «Расстояние между двумя селами 24км. За первую неделю бригада заасфальтировала 15 км. Какую часть всего расстояния заасфальтировала бригада за первую неделю?

Так как 24 км составляют целое, то 1 км составляет 1/24 от всего расстояния. По условию бригада заасфальтировала 15 км, следовательно, они составляют 15/24 всего расстояния, т. е. 5/8.

Решение задачи свелось к вычислению величины отношения числа заасфальтированной части к длине всего расстояния между селами.

2.Решим эту же задачу, но зададим другой вопрос: «Сколько процентов составляет заасфальтированная дорога от всего расстояния?

Для ответа достаточно полученное в предыдущей задаче отношение выразить в процентах. 5/8 = 62,5% Ответ: заасфальтированная дорога составляет 62,5% от всего расстояния.

Отношение, выраженное в процентах, называют процентным отношением.

Типовые арифметические задачи.

Если в задачах зависимости между заданными величинами сходны. То задачи являются аналогичными и ход их решения тоже аналогичны. Рассмотрим наиболее типичные зависимости величин, встречающиеся в задачах.

1. Задачи на нахождение чисел по их сумме и разности.

Перед решением задач такого типа можно решить задачу: «В двух пачках было 40 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой пачке, если в обеих пачках тетрадей было поровну?» Решение: 40:2=20(тет.) в каждой пачке.

Затем перейти к решению такой задачи: « В двух пачках было 40 тетрадей. Когда из первой пачки взяли 10 тетрадей, то в двух пачках тетрадей стало поровну. Сколько тетрадей было во второй пачке первоначально?

Рассмотрим два способа решения.

1 способ. Чтобы решить задачу как предыдущую, нужно уравнять количество тетрадей в пачках, «убрав» из первой пачки 10 тетрадей. 1) 40 – 10 = 30(тет.)

Теперь количество тетрадей в пачках стало одинаковым, общее число равно 30 тетрадям. В каждой пачке станет по 15 тетрадей, а это соответствует числу тетрадей во второй пачке. 2) 30 : 2 = 15(тет.) Ответ: во второй пачке первоначально было 15 тетрадей.

2 способ. Предположим, что во вторую пачку добавили 10 тетрадей. Тогда число тетрадей в пачках станет одинаковым, но общее количество увеличится и станет равным:

1) 40 + 10 = 50(тет.)

В каждой пачке окажется по 25 тетрадей, а это соответствует числу тетрадей в первой папке: 2) 50 : 2 = 25(тет.)

Узнаем, сколько тетрадей было во второй пачке: 3) 25 – 10 = 15(тет.)

Ответ: во второй пачке первоначально было 15 тетрадей.

План решения таких задач:

1.  Уравняйте…

2.  Измените ( увеличьте или уменьшите) …

3.  Найдите одно из слагаемых, для чего…

4.  Найдите второе число.

Задача: « Периметр прямоугольника равен 48см., длина на 4см. больше ширины. Найдите стороны прямоугольника».

Чтобы свести к способу решения предыдущей задачи, учащиеся, вспомнив понятие периметра прямоугольника, находят сумму двух смежных сторон.

2. Задачи на вычисление неизвестного по разности двух величин.

При решении таких задач необходимо выделить неизменное данное и те, которые изменились.

Задача 1: «Два велосипедиста отправились в поход. Двигаясь с одинаковой скоростью, один проехал за неделю 420км., другой - 450км., причем второй был в пути на 2 часа больше первого. Сколько часов находился в пути каждый велосипедист?»

Решение: Неизменное данное - скорость велосипедистов. Изменились - расстояние и время.

1) На сколько километров второй велосипедист проехал больше первого за два часа?

450 – 420 = 30(км)

2) Какова скорость движения?

30: 2 = 15(км/ч)

3) Сколько часов был в пути первый велосипедист?

420: 15 = 18(ч)

4) Сколько часов был в пути второй велосипедист?

28 + 2 = 30(ч)

Ответ: первый находился в пути 28 ч., второй - 30ч.

Задача 2: « Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 5 коп. А на 15 тетрадей у него не хватит 7 коп. Сколько денег было у школьника?

Не изменилось количество денег у школьника, а количество тетрадей и оставшихся (недостающих) копеек изменилось.

Денег стало на 12 коп больше (5+7). Это изменение произошло за счет увеличения тетрадей на 4 штуки. 1) 15-11=4(тет.)

Стоимость 4 тетрадей – 12 коп, определим стоимость одной тетради: 2) 12:4=3(коп)

Теперь ответим на вопрос задачи: 3) 11*3 + 5 = 38(коп) или 15*3 – 7 = 38(коп)

Ответ: у школьника было 38 коп.

3. Задачи на исключение неизвестной величины путем вычитания.

Задача 1. За телегу и тройку лошадей просят 155 руб., а за ту же телегу и одну лошадь – на 90 руб. меньше. Сколько стоит одна лошадь?

Решение:

Составим краткую запись условия задачи:

1 телега 3 лошади – 155 руб.

1 телега 1 лошадь – на 90 руб. меньше, чем

Сравним две строчки в краткой записи. Почему уменьшилась стоимость второй покупки? (Т. к. купили на две лошади меньше и стоимость уменьшилась на 90 руб.)

1) Определим стоимость одной лошади: 90 : 2 = 45(руб)

Ответ: одна лошадь стоит 45 руб.

Есть ли лишние данные? Какой вопрос можно поставить, чтобы потребовались все данные?

Задача 2. Разносчик продал одному покупаяблок и 10 апельсинов и получил с него 1 руб.20 коп, а другому 15 яблок и 15 апельсинов и получил с него 1 руб. 50 коп. Сколько стоит одно яблоко и один апельсин?

Решение:

Составим краткую запись условия задачи:

15 яблок 10 апельсинов – 1 руб. 20 коп.

15 яблок 15 апельсинов – 1 руб. 50 коп.

Стоимость второй покупки больше, т. к. купили больше апельсинов. На сколько больше купили апельсинов? 1) 15 – 10 = 5(ап.)

На сколько больше заплатили во второй раз? 2) 1 руб. 50 коп. – 1 руб. 20 коп. = 30 коп.

Сколько стоит один апельсин? 3) 30 : 5 = 6(коп.)

Зная стоимость одного апельсина и общую стоимость первой покупки, можно узнать, сколько стоили 15 яблок. 4) 1 руб. 20 коп. – 6 коп.* 10 = 60 коп.

Зная стоимость 15 яблок, можно узнать стоимость одного яблока. 5) 60: 15 = 4( коп).

Ответ: одно яблоко стоит 4 коп., один апельсин – 6 коп.

Задачи на замену данных и предположение.

При решении некоторых задач можно видоизменить условие задачи. Примеры таких задач приведены в учебнике математики 5 кл. под редакцией , и. ф. Шарыгина в пункте «Разные арифметические задачи».

Задача 1. « Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

1 способ.

Решение: Предположим, что колец во всех пирамидах было поровну – по 5 колец. Сколько для этого нужно снять колец с каждой большой пирамиды?

1) 7 – 5 = 2 (кольца)

Сколько колец останется на всех 20 пирамидах?

2) 20*5 = 100 (колец)