3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: А1(3;5;2), A2(-1;6;0), A3(8;0;4), A4(2;8;7).
Найти: а) косинус угла между ребрами А2А3 и А3А4; б) уравнение прямой А1А3;
в)уравнение плоскости, содержащей грань А2А3А 4; г) высоту пирамиды, опущенную на грань А2А3А4; д) объем пирамиды;.
4. Найти собственные векторы и собственные значения линейного отображения, заданного матрицей 
. Найти образы векторов 
и 
в данном отображении, если векторы заданы координатами в том же базисе, что и матрица линейного отображения.
Вариант 2
1. На координатной плоскости построить множество точек, являющихся решением системы 
2. Записать уравнения прямых, каждая из которых проходит через центр окружности 
А) Параллельно прямой 
(Найти площадь треугольника, который данная прямая отсекает от осей координат. ). Б) Перпендикулярно прямой . (Найти расстояние от этой прямой до начала координат ).
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А 2А3А4: A1(2;2;8), A2(5;8;0), A3(0;6;2), A4(7;4;7). Найти: а) косинус угла между ребрами А1А2 и А2А4. ; б) уравнение прямой А1А3
;в) уравнение плоскости, содержащей грань А2 А1А4; г) высоту пирамиды, опущенную на грань А2 А1А4; д) объем пирамиды;.
4. Найти собственные векторы и собственные значения линейного отображения, заданного матрицей 
. Найти образы векторов 
и 
в данном отображении, если векторы заданы координатами в том же базисе, что и матрица линейного отображения.
Вариант 3.
1.На координатной плоскости построить множество точек, являющихся решением системы 
2. Записать уравнения прямых, каждая из которых проходит через центр окружности 
. А) Параллельно прямой 
; (Найти площадь треугольника, который данная прямая отсекает от осей координат ). Б) Перпендикулярно прямой . Найти расстояние от этой прямой до начала координат.
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: A1(1;6;-1), A2(3;3;-3), A3(4;0;-7), A4(0;-3;-3). Найти: а) косинус угла между ребрами А1А2 и А2А4 ; б) уравнение прямой А1А3;
в) уравнение плоскости, содержащей грань А2А1А 4; г) высоту пирамиды, опущенную на грань А2А1А 4; д) объем пирамиды.
4. Найти собственные векторы и собственные значения линейного отображения, заданного матрицей 
. Найти образы векторов 
и 
в данном отображении, если векторы заданы координатами в том же базисе, что и матрица линейного отображения.
Вариант 4
1. На координатной плоскости построить множество точек, являющихся решением системы 
.
2. Записать уравнения прямых, каждая из которых проходит через центр окружности 
А) Параллельно прямой 
(Найти расстояние от этой прямой до начала координат) . Б) перпендикулярно прямой . (Найти площадь треугольника, который данная прямая отсекает от осей координат.)
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А 2А3А4: A1(2;1;3), A2(5;8;0), A3(0;6;2), A4(4;4;7). Найти: а) косинус угла между ребрами А1А2 и А2А4. б) уравнение прямой А1А3;
в) уравнение плоскости, содержащей грань А2 А1А4; г) высоту пирамиды, опущенную на грань А2 А1А4; д) объем пирамиды;.
4. Найти собственные векторы и собственные значения линейного отображения, заданного матрицей 
. Найти образы векторов 
и 
в данном отображении, если векторы заданы координатами в том же базисе, что и матрица линейного отображения.
7.3. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕЙ АТТЕСТАЦИИ
7.3.1.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ
1. Матрицы. Операции над матрицами: определения и свойства.
2. Определитель 2, 3, n-го порядка. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Свойства определителей.
3. Обратная матрица, условия существования. Формула обратной матрицы. Единственность обратной матрицы.
4. Системы линейных уравнений (СЛУ): основные понятия. Теорема Крамера.
5. Решение СЛУ в матричной форме.
6. Равносильные СЛУ. Решение СЛУ методом Гаусса.
7. Определение, примеры, простейшие свойства векторных пространств.
8. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn.
9. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейной зависимости.
10. Базис и ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Свойства базиса конечномерных пространств.
11. Линейные отображения векторных пространств. Матрица линейного отображения.
12. Собственные векторы и собственные значения линейного отображения.
7.3.2.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Декартова прямоугольная система координат. Векторы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Модуль вектора.
2. Линейные операции над векторами: сложение, умножение на число, вычитание. Их свойства.
3. Скалярное произведение векторов, его свойства.
4. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.
5. Различные уравнения прямой на плоскости.
6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми.
7. Системы линейных неравенств (СЛН). Графическое решение СЛН с 2 переменными.
8. Уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей. Типовые задачи.
9. Уравнения прямой в пространстве.
10. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
11. Общее уравнение кривых второго порядка.
7.3.2. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
В тестовых заданиях выберите все верные ответы из предлагаемых вариантов.
1. Алгебраическое дополнение элемента 
в определителе 4 порядка имеет вид:
А) (-1)4
;
Б) 
(-1)4
;
В) (-1)4 
;
Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.
2. Определитель произвольного порядка равен 0, если:
А) строки определителя линейно зависимы;
Б) столбцы определителя линейной независимы;
В) определитель имеет пропорциональные строки;
Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.
3. Из данных систем уравнений единственное решение имеется у системы…:
А) 
;
Б) 
;
В) 
;
Г) среди данных нет систем с единственным решением.
4. Пусть r - ранг совместной системы m линейных уравнений с n переменными, тогда число свободных переменных в записи общего решения системы равно:
А) m-n;
Б) r ;
В) n-r ;
Г) среди выражений А) - В) нет правильного ответа.
5. Что произойдет с рангом системы векторов, если к ней добавить нулевой вектор?
А) ранг уменьшится на 1;
Б) ранг не изменится;
В) ранг увеличится на 1;
Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.
6. Система арифметических векторов (3, 1, 1, 5) и (1, 2, 3, 4) образует фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений. Тогда решением данной системы является вектор:
А) (2, -1, -2, 4);
Б) (3, -4, -7, -2);
В) (4, -2, -4, 2);
Г) ни один из этих векторов не может служить решением данной системы.
7. Размерность произведения АВ для матриц А= 
и В = 
равна:
А) 2 строки, 3 столбца;
Б) 2 строки, 2 столбца;
В) 1 строка, 1 столбец;
Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.
8. Пусть А – матрица совместной системы n линейных уравнений с n неизвестными, В – матрица-столбец из свободных членов данной системы, Х - матрица-столбец из неизвестных системы. Тогда верным будет равенство:
А) ВА = Х;
Б) В = АХ;
В) Х = А-1 В;
Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.
9. Для арифметического пространства 
верно утверждение:
А) в существует линейно-независимая система из (n+1)-го вектора;
Б) всякий базис пространства состоит из n векторов;
В) любая система из n векторов пространства линейно независима;
Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.
10. Угловой коэффициент k и ордината b точки пересечения с осью OY для прямой 
равны:
А) b = 6, k = 2;
Б) b = 3, k = 0,5;
В) b = -3, k = -0,5;
Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.
11. Для прямой 
параллельной прямой является прямая…:
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов/
12. Уравнение с двумя переменными 
определяет на плоскости OXY…
А) параболу;
Б) эллипс;
Г) окружность;
Д) гиперболу.
13. Расстояние от точки М(0 ;4; -1) до плоскости 
равно:
А) 2; Б) 7/2; В) 
; Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.
14. Собственные значения линейного отображения с матрицей 
равны:
А) 1 и 2;
Б) 1, 0 и 3;
В) 0 и 3;
Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.
7.3.3. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ
(примеры)
Экзаменационный билет № 1
1. Уравнения прямой в пространстве.
2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: А1 (1; –1; 0), А2 (–1; 0; –1), А3 (3; –3; –1), А4 (2; 3; 4). Найти: высоту пирамиды, опущенную на грань А1А2А3.
Экзаменационный билет № 2
1. Различные уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми.
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (-1;2;3) перпендикулярно вектору 
Найти площадь треугольника ОМY Мz, где О – начало координат, МZ –точка пересечения плоскости с осью ОZ, МY – точка пересечения плоскости с осью OY.
Экзаменационный билет № 3
1.Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
2. Составьте уравнения медианы АМ треугольника, вершины которого находятся в точках A (2, 3), B (-3, 5) и C (7, -1).
Экзаменационный билет № 4
1. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное произведение. Смешанное произведение.
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (-2;3;-5) и перпендикулярной вектору 
(6;4;-2). Найти площадь треугольника ОМXМY, где О – начало координат, МX –точка пересечения плоскости с осью ОХ, МY – точка пересечения плоскости с осью OY.
Экзаменационный билет № 5
1. Уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.
2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: А1 (–1; 0; –1), А2 (3; –3; –1), А3 (2; 3; 4). А4 (1; –1; 0), Найти: высоту пирамиды, опущенную на грань А2А3А4.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Мультимедийные средства для показа презентаций.
Информационно-коммуникационные технологии (Интернет) в процессе обучения.
___________________________________________________________
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 38.03.01 Экономика
Автор-составитель: к.-м. н., доцент
Программа одобрена на заседании кафедры «____»________2015 года, протокол №
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
