Современная прикладная криптография (стр. 28 )

2.8. Конец работы алгоритма. Значение H на шаге 2,7 является

значением функции хэширования.

Этап 3.

3.1. Вычислить суффикс слова м длины 256 бит.

3.2.

3.3. L : = L + 256

3.4.

3.5.

3.6. Перейти к этапу 2.

Фигурирующие в описании параметры могут рассматриваться и как двоичные векторы, и как целые числа, имеющие двоичное представление в виде этих соответствующих векторов, в зависимости от операции, которая к ним применяется.

Перейдем теперь к описанию пошаговой функции хэширования к. преобразующей два 256-битных вектора в один такого размера (256 бит). Ее реализация также может быть разбита на 3 последовательных этапа.

Этап к.1. Генерация ключей - слов длины 256 - для ГОСТ 28147-89. Этап к.2. Зашифрование 64-битных блоков слова H на ключах

. полученных на этапе к.1, с помощью ГОСТ 28147-89 в режиме простой замены.

Этап к.3. Перемешивание выхода этапа к.2 с помощью регистров сдвига.

пусть -

представление двоичного вектора X длины 256 в виде конкатенации разного числа векторов одинаковой длины.

Обозначим через

, - сложение векторов по модулю 2.

,

где

Для генерации ключей этапа к. I необходимо использовать исходные данные H. M - 256-битные слова и слова , такие, что

I. i=1, U:=H, V:=M

2. W:=UV,

3. i=i+1

4. Проверить i=5. Да —> п.7, нет —> п.5.

5.

6. Перейти к п.3.

7. Конец.

На этапе к. 3 исходные данные с помощью набора ключей с этапа к.1 преобразуются с использованием ГОСТ 28147-89

где - обозначает преобразование зашифрования в режиме простой замены.

Пусть преобразование вида

Тогда значение пошаговой функции хэширования к после последнего этапа к.3 равно

где - i - тая степень преобразования .

Этим завершается описание всего алгоритма вычисления функции хэширования.

3.5 Использование эллиптических кривых в криптологии

Эллиптические кривые над различными полями оказались в последнее десятилетие в центре внимания по нескольким причинам, одной из которых является их применение в криптографии.

Криптосистемы на основе эллиптических кривых впервые были предложены в работах Миллера и Коблица [M86, K87]. Многие современные стандарты схем цифровой подписи также основаны на группах точек эллиптических кривых [например, ГОСТ 34.10-2001, FIPS 186-2]. Генераторы псевдослучайных последовательностей, широко используемые при получении криптографических ключей, также могут быть построены над группами точек эллиптических кривых [H94, BGS98, GL01]. В некоторых алгоритмах проверки простоты и факторизации целых чисел также используются эллиптические кривые [В03].

Рассмотрим в начале основные понятия и определения теории эллиптических кривых.

Аффинное и проективное пространства.

Пусть F – некоторое поле и – множество наборов = с из F. Его можно рассматривать как векторное пространство при обычном способе определения сложения и умножения на скаляры. А можно его рассматривать как множество и называть его n-мерным аффинным пространством над F. Элементы = с из F этого пространства будем называть аффинными точками или просто точками. Точка этого пространства (0,…,0) называется началом координат.

(F) , n-мерное проективное пространство над F, несколько более сложное понятие. Для этого рассмотрим (F), обозначая его точки через .

Определим отношение эквивалентности на этом (n+1)-мерном аффинном пространстве с выброшенным началом координат следующим образом. Точка эквивалентна точке , если существует такой элемент d из F*, что (F* - обратимые элементы поля F). Классы эквивалентности называются точками пространства (F) или проективными точками. Во многих работах, например в [K04], для обозначения классов эквивалентности

[а] =[] используется обозначение ().

Пространство(F) содержит больше точек, чем . Покажем это.

Утверждение.

Пусть H – множество классов [a] из(F) с нулевой координатой . Определим отображение ф точки [a] из ((F)\ H) в следующим образом

ф([a]) = ().

Тогда это отображение ф является взаимно однозначным.

Доказательство.

Для доказательства инъективности заметим, что, если для разных классов [a] и [b] из ((F)\ H) будет выполнено равенство ф([a])=ф([b]), то для i=0,1,…, n. Пусть с=.

Тогда для i=0,1, …,n, так что [a]=[b]. Получили противоречие.

Для доказательства сюрьективности заметим, что, если v=(v, …, v) из , то положим w=(1,v, …, v). Тогда ф([w]) = v и каждый элемент имеет прообраз.

Множество H называется бесконечно удаленной гиперплоскостью. Множество H обладает структурой пространства . Таким образом, (F) состоит из двух частей ((F)\ H) и Н, первая есть копия пространства , и его точки называются конечными точками, а другая - копия пространства , и его точки называются бесконечно удаленными точками.