Современная прикладная криптография (стр. 29 )

Например, P(F) состоит из одной точки [a] (a – не нулевая) и начала координат [0].

Для определения множеств, называемых гиперповерхностями, привлечем многочлены.

Пусть F[] – кольцо многочленов от n переменных над полем F. Если

f(x) – элемент этого кольца, то он имеет вид

f(x) =

где сумма берется по всем наборам неотрицательных целых чисел (i,…,i), для которых не равны нулю коэффициенты a.

Многочлен вида a называется одночленом. По определению общая степень одночлена равна сумме (i+i+…+i), а степень по переменной x равна i. Степень многочлена f(x) есть максимум степеней одночленов, которые входят в f(x) с ненулевыми коэффициентами. Степень по x многочлена f(x) есть максимум степеней по x одночленов, которые входят в f(x) с ненулевыми коэффициентами. Если обозначить эти степени через deg f(x) и deg (f(x)), то

(а) deg( f(x) g(x)) = deg f(x) + deg g(x);

(b) deg (f(x)) g(x)) = deg (f(x)) + deg(g(x)).

Если все одночлены, входящие в f(x), имеют степень L, то f(x) называется однородным многочленом степени L. Однородный многочлен иногда называется формой. Форма степени 1 называется линейной формой, степени 2 называется квадратичной формой, а форма степени 3 – кубической формой и так далее.

Каждый однородный многочлен f(x, …, x) степени L удовлетворяет условию

f(d x,…, d x) = (d) f(x, …, x)

для всех x, …, x, d из поля F.

Оказывается, для бесконечного поля многочлен, удовлетворяющий этому условию, является однородным степени L (см. [K04, стр.37]).

Пусть К – некоторое поле, содержащее поле F. Если f(x) из F[] и a из A(K), то можно подставить a вместо x и вычислить f(a). Это показывает, что f(x) определяет функцию из A(K) в K, которая переводит a в f(a). Точка a из A(K), для которой f(a)=0, называется нулем функции f(x) [AP87].

Для произвольного ненулевого многочлена f(x) определим множество

H (K) = {a из A(K) : f(a)=0},

называемое гиперповерхностью в аффинном пространстве A(K), определяемой многочленом f. Если поле К конечно, то конечно и число точек в H(K).

Определим теперь проективную гиперповерхность. Пусть h(x) из F[] – ненулевой однородный многочлен степени L. Как и выше К есть поле, содержащее поле F. Для d из K* имеем h(dx) = (d) h(x). Отсюда следует, что если a из A(K) и h(a)=0, то h(da)=0. То есть, любой другой элемент из класса эквивалентности [a] также является нулем многочлена h(x). Таким образом, можно положить H` (K) = {[a] из P(K) : h(a)=0}. Это множество называется гиперповерхностью в проективном пространстве P(K) , определенной однородным многочленом h.

В более общем виде, если f, …, f – многочлены в F[], положим

V = {: a из F, i=1,…,n, f()=0, j=1,…,m}, которое называется алгебраическим множеством, определенным над полем F. В работе [Р91] это множество называется (алгебраическим) многообразием.

Аналогично, множество общих проективных нулей (т. е. корней из P(K)) конечного набора однородных многочленов из F[] называется проективным алгебраическим множеством.

Определим проективное замыкание аффинной гиперповерхности. Пусть f(x) из F[], и определим f `(y) = f `(y,y…,y) посредством формулы

f `(y) = y f(y/y,…,y/y)).

Утверждение.

f `(y) – однородный многочлен степени deg f. Кроме того, f `(1,y,…,y) = f(y,…,y).

Доказательство.

Положим L=deg f и рассмотрим одночлен степени d<L.

Тогда y( y/y) …( y/y) = (y) (y)…(y) , причем последний одночлен имеет степень L. Таким образом, в f ` все одночлены имеют степень L, что доказывает первую часть утверждения. Вторая часть следует из определения многочлена.