Современная прикладная криптография (стр. 31 )

(а) Две различные прямые в P(K) пересекаются ровно в одной точке.

(b) Для любых двух различных точек (x:y:z) и (x`:y`:z`) проективной плоскости P(K) существует ровно одна прямая ax+by+cz=0, содержащая эти точки.

Доказательство.

(а) Пусть ax+by+cz=0 и a`x+b`y+c`z=0 – задают 2 различные прямые в P(K). Рассмотрим пространство решений системы уравнений над К вида

ax+by+cz=0

a`x+b`y+c`z=0

Прямые считаются совпадающими, если (a, b,c) кратно (a`,b`,c`). А так как прямые различные, то коэффициенты не кратны и ранг матрицы составленной из коэффициентов системы равен 2. Следовательно, пространство решений этой системы имеет размерность 1 и ему соответствует в точности одна точка пересечения прямых на проективной плоскости P(K).

(b) Для того, чтобы убедиться в этом достаточно рассмотреть систему уравнений

xa+yb+zc=0

x`a+y`b+z`c=0,

матрица коэффициентов которой имеет ранг 2, а система одно решение (a, b,c).

Утверждение согласуется с нашими представлениями из аналитической геометрии в 3-х мерном пространстве над полем действительных чисел R. Прямой в P(R) соответствует плоскость в R, проходящая через начало координат, а точке в P(R) соответствует прямая, проходящая через начало координат. Две различные такие плоскости в R пересекаются по прямой, проходящей через начало координат. Она соответствует точке в пространстве P(R). Также в R через две прямые, проходящие через начало координат можно провести одну плоскость, что соответствует утверждению (b).

Заметим, что в A(K) прямые не обязательно пересекаются в одной точке.

Утверждение.

Если поле L алгебраически замкнуто, то прямая в пространстве P(L) пересекает кривую степени d, определяемую однородным многочленом f(x, y,z), в d точках.

Доказательство. Чтобы показать это, запишем x=x/z, y=y/z, и обозначим

f*(x, y) = f(x, y,1). Мы рассмотрим в данный момент аффинное пространство A(L) и аффинную часть кривой. Для нахождения точек пересечения кривой, задаваемой уравнением f*(x, y) = 0, с прямой y = mx+b (получается из ax+by+cz=0 ) подставляем значение y в f* и находим корни уравнения. Если f имеет степень d, то последнее уравнение будет иметь в общем случае степень d, а так как L алгебраически замкнуто, будет в наличии d корней с учетом кратности. Исключениями являются лишь пересечения на бесконечности, когда f*(x, mx+b) , будет иметь степень меньшую d.

Если a из H`(L), то касательная прямая к f в точке a пересекается с кривой f=0 с кратностью 2 или больше. Если кратность больше, чем 2, то a называется точкой перегиба.

Если многочлен f(x, y,z) определен над К, то его корень в P(K) называется рациональной точкой над К.

Будем говорить, что неособый однородный кубический многочлен f(x, y,z) из K[x, y,z] определяет эллиптическую кривую над К, если имеется по крайней мере одна рациональная точка [AP87].

Группы преобразований занимают в геометрии центральное место.

Аффинная замена координат в K имеет вид Ф v +B, где v=(x, y) из К, Ф – обратимая 2X2 – матрица из группы обратимых матриц GL(2,K), а В – вектор сдвига. Известно, что любая невырожденная коника Ах+Bxy +Cy+Dxz +Eyz +Fz= 0 приводится аффинным преобразованием к одной из 12 форм. [P91, c.18]

Рассмотрим группу GL(3,K) всех обратимых матриц третьего порядка над полем К. Так как для любой матрицы Ф из GL(3,K) будет Ф(d v) = dФv для любого v из A(K), то Ф задает взаимно однозначное отображение P(K) на P(K), называемое проективным преобразованием проективной плоскости P(K), соответствующим матрице Ф [K04, P91].

Матрицы Ф1 и Ф2 задают одно и то же преобразование пространства P(K) тогда и только тогда, когда одна из них пропорциональна другой, то есть Ф1 = d Ф2, где d из К*.

Кубическая кривая общего вида задается однородным многочленом

F(x, y,z)= C y+C x y +C x y+C y z+ Cx y z +C y z+ C x + +C x z +Cx z + C z.

Утверждение.

Пусть f –такая кубическая кривая над полем К, что точка (x,y,z) является ее точкой перегиба. Тогда существует такое проективное преобразование Ф, что

f = yz+a xyz + a yz – x –a xz – a x z-az.

Доказательство. См. [K04, c. 59].

Кубическую кривую такого вида называют кривой, заданной в длинной форме Вейерштрасса. Соответствующее уравнение в аффинных координатах (при z=1) записывается в виде

y+a xy+ a = x+ a x +a x + a.

(Обозначения в этих записях стандартные [K04].)