Современная прикладная криптография (стр. 30 )

Рассмотрим гиперповерхность H (K) в A(K). Многочлен f `(y) однороден по переменным y,…,y, а потому f ` определяет гиперповерхность H`(K) ={[a] из P(K) : f`(a)=0} в P(K). Эта гиперповерхность называется проективным замыканием аффинной гиперповерхности H(K) в P(K).

Пусть отображение : A(K) в P(K) определено равенством

(a,…,a) = [(1, a,…,a)].

Отображение взаимно однозначно с Im,где Im-область значений отображения (т. е. образ), и, кроме того, образ H (K)при содержится в H`(K), так как, очевидно,

f`([(1, a,…,a)]) = f(a,…,a) = 0 для всех a из H (K).

Вообще говоря, гиперповерхность H`(K) имеет больше точек, чем H (K), поскольку в ней еще имеется пересечение с бесконечно удаленной гиперплоскостью.

Основываясь на предыдущих определениях перейдем к эллиптическим кривым.

Далее мы будем фактически рассматривать случай n=2. А именно, аффинное пространство A(F) и проективное пространство P(F). Согласно определениям работ [Р91, K04] пространство P(F) называется проективной плоскостью (projective plane). Поменяем для простоты обозначения, точки P(F) будем обозначать через (x :y :z).

Иногда, где не может возникнуть путаница, будем обозначать точку проективной плоскости P(F) с однородными координатами (x : y : z) и через (x, y, z).

Более наглядно проективную плоскость можно представить над полем действительных чисел R. В этом случае точками проективной плоскости P(R) являются прямые в A(R) (или R) , проходящие через начало координат, или классы эквивалентности (x : y : z) на R\{0}, где (x, y,z) эквивалентно (dx, dy, dz), если d из R\{0}. Приведенные выше рассуждения показывают, что P(R) содержит экземпляр A(R) , такое стандартное вложение задается отображением точки (x, y) из A(R) вида :(x, y) à (x : y : 1). Дополнение к образу в P(R) состоит в точности из тех точек, у которых z=0 (Ранее обозначалось через Н). Эти точки называются бесконечно удаленными [K04].

В свою очередь (P(R)\ H) отображается взаимно однозначно на A (R), (где H – множество точек (x : y : z) из P(R) с нулевым значением z) с помощью отображения вида

ф((x : y : z)) = (x/z, y/z).

Пусть K –некоторое поле и f(x, y,z) из K[x, y,z] – однородный многочлен степени d. Полезно ввести геометрическую терминологию. Говорят, что уравнение

f(x, y,z) = 0

определяет кривую степени d над полем К. Поле К называется ее полем определения.

В работе [K04] проективной плоской кривой над полем К называется именно однородный многочлен степени d. Многочлен f нельзя рассматривать как функцию, определенную на проективной плоскости P(K). Тем не менее, можно говорить о множестве корней многочлена f как о подмножестве P(K). В самом деле, если f(x, y,z) = 0 для некоторых однородных координат точки (x:y:z) проективной плоскости, то это же равенство выполняется для любых других однородных координат этой точки в силу однородности многочлена f. Множество

f(K) = {(x:y:z) : x, y,z К, f(x, y,z) = 0}

называется множеством K-точек кривой f . В этих обозначениях соответствующей аффинной кривой называется кривая, задаваемая многочленом вида F(x, y) = f(x, y,1).

В тех случаях, когда d = 1,2 или 3, проективная кривая называется соответственно прямой, кривой второго порядка и кубической кривой [K04, стр.40].

В работе [Р91, стр. 18, 20] плоская кривая, задаваемая однородным квадратным уравнением

Ах +Bxy +Cy +Dxz +Eyz +Fz = 0

называется коникой.

Если L – поле, содержащее К, то можно рассматривать корни многочлена f в проективном пространстве P(L). В введенной выше терминологии это есть H`(L). Гиперповерхность в проективном 2-пространстве и называется кривой.

Точка a из H`(L) называется неособой, если она не является решением системы уравнений

df/dx = 0,

df/dy = 0,

df/dz = 0.

Прямой в P(K) над полем К будем далее, следуя [K04] , называть гиперповерхность, определяемую в P(K) ненулевым многочленом Ах+Вy+Сz с коэффициентами из К (правда в русском переводе в [K04] прямой называется и ненулевой многочлен ax+by+cz, и уравнение ax+by+cz=0. ).

Точки из P(R) , для которых z=0, соответствуют классам (x : y : 0). Эти точки образуют «бесконечно удаленную прямую». По определению прямая L на проективной плоскости P задается уравнением aX+bY+cZ=0 и проходит через точку (X:Y:0) тогда и только тогда, когда aX+bY =0. В аффинных координатах та же прямая задается уравнением ax+by+c=0, так что все прямые с одним и тем же отношением a:b проходят через одну точку на бесконечности. [P91, c.21]

В таком случае прямая, задаваемая уравнением

(df/dx(a)) x + (df/dy(a)) y + (df/dz(a)) z = 0

называется касательной к кривой f в точке a.

Кривая, определяемая уравнением f(x, y,z) = 0, называется неособой кривой, если все точки в H(L) неособые для всех расширений L поля K.

Утверждение.