Глава 6. Комплексные числа (стр. 2 )

= (a + c + e; b + d + f). Т. к. a, b, c, d, e, f Î R, то по отношению к ним может быть использовано сочетательное свойство сложения, которое имеет место на множестве действительных чисел. Итак, , ; следовательно, по определению равенства двух комплексных чисел.

3. z + 0 = z.

Доказательство. Пусть z = (a; b). Тогда z + 0 = (a; b) +(0; 0) = (a+0; b+0) =

= (a; b) = z.

4. z + (-z) = 0.

Доказательство. Пусть z = (a; b), тогда –z = (-a; -b). z + (-z) = (a; b) + (-a; -b)= = (a+(-a); b+(-b)) = (0; 0) = 0. (a+(-a) = 0 и b+(-b) = 0, т. к. a, b Î R.

2. Умножение

Определение. Произведением двух комплексных чисел (a; b) и (c; d) называется комплексное число вида (ac–bd; ad+bc), т. е. (a; b)×(c; d) = (ac–bd; ad+bc).

П р и м е р ы. 1) (4; 2)×(5; 3) = (4×5-2×3; 4×3+2×5) = (14; 22);

2) (-3; 5)×(-2; -6) = ((-3)×(-2)–5×(–6); (–3)×(–6)+5×(–2)) =

= (6+30; 18-10) = (36; 8).

Найдем произведение двух действительных чисел по этому определению. Пусть a, b Î R. a×b = (a; 0) ×(b; 0) = (a×b–0×0; a×0+0×b) = (ab; 0) = a×b, т. е. получаем то же самое число.

Свойства умножения

1. . 2. .

3. . 4. z×1 = z.

5. z×(-1) = –z. 6. z×0 = 0. 7. .

Докажем эти свойства.

1. .

Доказательство. Пусть , , , ,

ca – db = ac – bd, cb + da = ad + bc по свойствам сложения и умножения на множестве действительных чисел, т. к. a, b, c, d Î R, т. е. . Следовательно, по определению равенства двух комплексных чисел.

Аналогично доказываются свойства 2 и 3.

4. z×1 = z.

Доказательство. Пусть z = (a; b), 1 = (1; 0). Тогда .

5. z×(-1) = -z.

Доказательство. Пусть z = (a; b). Тогда -z = (-a; -b),

.

6. z×0 = 0.

Доказательство. Пусть z = (a; b), 0=(0; 0). Тогда

.

7. .

Доказательство. Пусть z = (a; b), . Тогда

.

Действия вычитания и деления определяются как действия, обратные сложению и умножению.

3. Вычитание

Определение. Разностью двух комплексных чисел (a; b) и (c; d) называется такое комплексное число (x; y), которое при сложении с комплексным числом (c; d) дает комплексное число (a; b). Т. е. (a; b) - (c; d) = (x; y), если (x; y) + (c; d) = (a; b). Найдем числа x и y. Итак, (x; y) + (c; d) = (a; b) или (x + c; y + d) = (a; b). По определению равенства комплексных чисел , . Следовательно,

(a; b) - (c; d) = (a-c; b-d).

Это формула вычитания комплексных чисел.

П р и м е р ы. 1) (3; 10)-(5; 4)=(3-5; 10-4)=( -2; 6),

2) (-3; -2) -(7; -4)=(( -3) -7; (-2) -(-4))=( -10; 2).

Пусть a, b Î R. Тогда a-b=(a; 0) -(b; 0)=(a-b; 0-0)=(a-b; 0)=a-b.

П р и м е р. 10-3=(10; 0) -(3; 0)=(10-3; 0-0)=(7; 0)=7.

Свойства вычитания

1. z - z = 0. 2. z - 0 = z. 3. .

Свойства 1 и 2 предлагается доказать самостоятельно. Докажем свойства 3.

Доказательство. Имеем . , , т. е. .

4. Деление

Определение. Частным от деления комплексного числа (a; b) на комплексное число (c; d) ¹ 0 называется такое комплексное число (x; y), которое удовлетворяет условию , т. е. (a; b) : (c; d) = (x; y), если .

Найдем числа x и y. Имеем , т. е. Þ . Решая систему уравнений, получаем . Таким образом, (a; b) : (c; d) = . Это формула деления комплексных чисел.

П р и м е р.

.

Пусть a, b Î R.

.

Свойства деления

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

Свойства 1-6 предлагается доказать самостоятельно, используя определение деления комплексных чисел и свойства умножения.

Докажем свойство 7. .

Доказательство. .

5. Возведение комплексного числа в натуральную степень

Определение. , где n Î N - это произведение n множителей, каждый из которых равен (a; b). Т. е. .