Глава 6. Комплексные числа (стр. 4 )

Очевидно, что имеет четыре различных значения: .

Действительно, если:

1) n = 4k, то ;

2) n = 4k+1, то ;

3) n = 4k+2, то ;

4) n = 4k+3, то .

П р и м е р ы. 1) . 2) .

3) .

и .

П р и м е р ы: 1) ;

2) ;

Подобные задачи можно решать, умножая на , т. к. .

П р и м е р ы. 1) ;

2) ;

По определению возведения в натуральную степень комплексных чисел: . Следовательно,

.

Так как умножение комплексных чисел в алгебраической форме можно выполнять так же, как умножение алгебраических двучленов, то при возведении в степень комплексных чисел в алгебраической форме имеют место формулы сокращенного умножения и формула бинома Ньютона. Таким образом:

;

;

.

После того, как правая часть равенства по формуле бинома Ньютона написана, следует выделить действительную и мнимую части результата.

П р и м е р. .

6. Извлечение корня

По определению корня n-й степени из комплексного числа имеем: , если . В алгебраической форме: , если .

При n = 2 имеем: , если или . Следовательно, . Решая эту систему уравнений, найдем действительные числа x и y.

П р и м е р. . По определению степени: или . Отсюда . Из второго уравнения находим и подставляем в первое уравнение. Получим биквадратное уравнение относительно x. . Отсюда . Обозначим , тогда . Корни этого уравнения . Далее решаем два уравнения: 1) - это уравнение действительных корней не имеет; 2) , откуда . Соответственно . Поэтому имеет два значения: и .

При n = 3 имеем , если или . Получаем систему кубических уравнений

При извлечении корня четвертой степени из комплексного числа решают систему уравнений четвертой степени относительно x и y.

Таким образом, задачи возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел в алгебраической форме имеют очень громоздкое решение.

§5. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Действительное число a изображается точкой на числовой оси. Комплексное число будем изображать точкой на координатной плоскости XOY. Каждому комплексному числу соответствует единственная точка на координатной плоскости и обратно, каждой точке на координатной плоскости соответствует единственное комплексное число . Таким образом, между точками координатной плоскости XOY и множеством комплексных чисел существует взаимно однозначное соответствие.

Сопряженные комплексные числа и изображаются на координатной плоскости точками, симметричными относительно оси OX.

Противоположные комплексные числа и изображаются точками, симметричными относительно начала координат.

Действительное число изображается точкой a на оси OX. Ось абсцисс называется действительной осью.

Чисто мнимое число изображается точкой b на оси OY. Ось ординат называется мнимой осью.

y

b bi=(0; b) z=(a; b)

1 i=(0; 1)

-a a

0 1 (a; 0) x

-z = (-a; -b) -b

Рис. 1

Модуль комплексного числа - это расстояние от начала координат O(0; 0) до точки M(a; b) (рис. 1).

§6. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Точка M(a; b) изображает на координатной плоскости комплексное число .