Глава 6. Комплексные числа (стр. 3 )

П р и м е р ы. 1)

= (16-9; -12-12) = (7; -24).

2) Пусть a Î R. .

6. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Определение. Корнем n-й степени (n Î N, n ³ 2) из комплексного числа (a; b) называется комплексное число (x; y), для которого выполняется условие .

Таким образом, , если .

П р и м е р ы. 1) и , т. к. и .

2) , где . По определению корня из комплексного числа имеем . По определению умножения двух комплексных чисел получаем . Таким образом, . Из определения равенства двух комплексных чисел получаем систему уравнений:

. Отсюда получаем xy = 0, т. е. x = 0 или y = 0. Если x = 0, то или , что невозможно, поскольку . Следовательно, x ¹ 0. Значит, y = 0 и или . Таким образом, . В обычной записи имеем и .

Рассмотрим комплексное число (0;1). Обозначим его символом i, т. е. i=(0;1). Найдем квадрат этого числа: , т. е. .

Следовательно, на множестве комплексных чисел существует такое комплексное число i = (0; 1), квадрат которого равен -1, или, что то же самое, на множестве комплексных чисел существует число, равное .

Таким образом, на множестве комплексных чисел выполняются условия 1), 2), 3).

Заметим, что множество комплексных чисел является числовым полем.

§3. Алгебраическая форма комплексного числа.

Используя определения действий сложения и умножения комплексных чисел, запишем комплексное число (a; b) в другом виде. (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0)+ + (b; 0)×(0; 1) = a + bi, т. к. (a; 0) = a, (b; 0) = b, (0; 1) = i.

a + bi - алгебраическая форма комплексного числа (a; b).

Здесь действительное число a называют действительной частью комплексного числа, число b - мнимой частью комплексного числа или коэффициентом при мнимой единице, а символ i - мнимой единицей.

П р и м е р. (-4; 7) = -4 + 7i. -4 + 7i - алгебраическая форма комплексного числа (-4; 7), -4 - действительная часть этого числа, 7 - мнимая часть (коэффициент при мнимой единице).

Из определения равенства двух комплексных чисел следует равенство двух комплексных чисел в алгебраической форме.

По определению (a; b) = (c; d), если a = c и b = d. Поэтому a + bi = c + di, если a = c и b = d, т. е. если равны действительные части и коэффициенты при мнимой единице.

и - противоположные комплексные числа.

и - сопряженные комплексные числа.

, - модуль комплексного числа.

П р и м е р. , , .

, .

§4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

1. Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Доказательство. (a+bi) + (c+di) = (a; b) + (c; d) = (a+c; b+d) = (a+c) + (b+d)i.

П р и м е р ы. 1) (2+7i) + (5+3i) = (2+5) + (7+3)i = 7+10i;

2) (-4+3i) + (-3-8i) = ((-4)+(-3)) + (3+(-3))i = -7-5i.

2. Вычитание

.

Доказательство. .

П р и м е р ы. 1) .

2) .

3. Умножение

.

Доказательство. .

П р и м е р ы. 1) .

2) .

4. Деление

.

Доказательство. .

П р и м е р.

.

Заметим, что сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме можно выполнять так же, как выполняются сложение, вычитание и умножение алгебраических двучленов, но в результатах необходимо выделить действительную и мнимую части комплексных чисел, т. е. , , .

П р и м е р ы. 1) .

2) .

3) .

Деление комплексных чисел в алгебраической форме можно выполнять, умножая делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю, т. е.

.

П р и м е р.

.

5. Возведение в степень комплексных чисел в алгебраической форме

Степени мнимой единицы.

, , , , , , , = 1.