Глава 6. Комплексные числа (стр. 1 )

Глава 6. Комплексные числа

Если a и b – действительные числа, то их сумма, разность, произведение, частное и степень с целым показателем являются также действительными числами. Степень действительного числа с дробным показателем не всегда действительное число. Так . Также .

Квадратное уравнение , у которого , имеет корни вида .

Возникает необходимость расширения понятия числа. Для этого вводится множество математических объектов, которое называется множеством комплексных чисел, определяемое описанными ниже свойствами. В этом множестве должны выполняться условия:

1) множество действительных чисел должно быть подмножеством множества комплексных чисел;

2) в нем должны быть определены действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня таким образом, чтобы не было противоречий с определением этих действий на множестве действительных чисел и, чтобы на множестве комплексных чисел выполнялись все законы этих действий, которые известны на множестве действительных чисел;

3) оно должно содержать корни уравнения .

§1. Определение комплексного числа. Равные, противоположные, сопряженные комплексные числа. Модуль комплексного числа.

Определение 1. Комплексные числа – это упорядоченные пары действительных чисел, для которых специальным образом введены операции равенства, суммы и произведения двух чисел.

(a; b) – комплексное число, a, b Î R; a – первое действительное число; b – второе действительное число.

П р и м е р ы. (2; 3), (-1; 5), , (-0,2; 1,3), (0; 1), (3; 0), – комплексные числа.

Комплексные числа обозначают буквами z или a, b, g, ... .

Определение 2. Два комплексных числа (a; b) и (c; d) равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d, т. е. (a; b) = (c; d) Û a = c и b = d.

Определение 3. Комплексные числа (a; b) и (a; -b) называются сопряженными комплексными числами.

Обозначение. . и – сопряженные комплексные числа.

П р и м е р ы. 1) = (4; 7) , = (4; –7);

2) = (–5; –3) , = (–5; 3);

3) = , = ;

4) = (–0,5; 0) , = (–0,5; 0).

Определение 4. Комплексные числа (a; b) и (-a; -b) называются противоположными комплексными числами.

Обозначение. z = (a; b), –z = (–a; –b). z и –z – противоположные комплексные числа.

П р и м е р ы. 1) z = (2; 9), –z = (-2; -9);

2) z = (-3; 5), –z = (3; -5);

3) z = (4; 0), –z = (-4; 0);

4) z = (0; -6), –z = (0; 6).

Определение 5. Действительное число, равное , называется модулем комплексного числа (a; b).

Обозначение. |z| – модуль комплексного числа.

z = (a; b) Þ .

Так как a, b Î R, , то или |z|Î R и .

Т е о р е м а. .

Доказательство. Пусть z = (a; b), тогда и . Имеем , , . Что и требовалось доказать.

П р и м е р ы. 1) z = (-3; 4), , |z| = 5.

2) , , |z| = 1.

Числа вида (a; 0) будем обозначать через a, т. е. (a; 0) = a, где a Î R .

Таким образом, любое действительное число a – это комплексное число вида (a; 0), а множество действительных чисел – это подмножество множества комплексных чисел.

Итак, если a Î R, то a = (a; 0). , т. е. понятие модуля комплексного числа не противоречит этому понятию на множестве действительных чисел.

a = (a; 0), –a = (-a; 0) – противоположные числа;

0 = (0; 0), 1 = (1; 0).

§2. Действия над комплексными числами.

1. Сложение

Определение. Суммой двух комплексных чисел (a; b) и (c; d) называется комплексное число вида (a+c; b+d), т. е. (a; b) + (c; d) = (a+c; b+d).

П р и м е р ы. 1) (3; 8) + (5; 2) = (3+5; 8+2) = (8; 10);

2) (-4; 1) + (-3; -8) = ((-4)+(-3); 1+(-8)) = (-7; -7).

Пусть a, b Î R. Найдем их сумму. a + b = (a; 0) + (b; 0) = (a+b; 0+0) =

=(a+b; 0) = a + b.

Таким образом, сумма двух действительных чисел, найденная по определению суммы двух комплексных чисел, равна сумме этих чисел, найденной по правилу вычисления суммы для действительных чисел.

П р и м е р. 2 + 5 = (2; 0) + (5; 0) = (2+5; 0+0) = (7; 0) = 7.

Свойства сложения

1) ; 2) ;

3) z + 0 = z; 4) z + (–z) = 0.

Докажем эти свойства.

1. .

Доказательство. Пусть и . Тогда , , c + a = a + c и d + b = = b + d т. к. a, b, c, d Î R и это свойство сложения на множестве R выполняется. Итак , . Следовательно, по определению равенства двух комплексных чисел.

2. .

Доказательство. Пусть , , . Тогда .