Глава 6. Комплексные числа (стр. 6 )

Т. е. . Это формула называется формулой Муавра.

П р и м е р. Пусть . Вычислить .

.

4. Извлечение корня

По определению корня n-й степени из комплексного числа z имеем: , если . Пусть и . Тогда , если , или . Отсюда . Из последних двух равенств находим . Таким образом, или . Найдем значения корня при k = 0, 1, 2, ..., n - 1.

k = 0, ,

k = 1, ,

k = 2, ,

.................................................................................

k = l, ,

........................................................................

k = n - 1, .

- различные значения корня n-й степени из комплексного числа z.

Пусть . Тогда ,где и . Тогда

.

Итак, , т. е. мы получаем одно из значений корня n-й степени из числа z при . Следовательно, при извлечении корня n-й степени из комплексного числа z получается только n различных значений.

П р и м е р. Пусть . Найти .

.

k = 0, ,

k = 1, ,

k = 2, ,

k = 3, .

При выполнении действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах можно заметить, что сложение и вычитание комплексных чисел удобнее делать в алгебраической форме, а возведение в степень и извлечение корня - в тригонометрической.

§8. Формулы перехода от алгебраической формы комплексного

числа к тригонометрической и обратно.

Пусть - комплексное число. - его алгебраическая форма, - тригонометрическая форма.

Число изображается точкой M(a; b) (рис. 1) на комплексной плоскости. - модуль комплексного числа. Аргумент j определяется равенствами или .

y z = (a; b)

b M(a; b)

r

0 a x

Рис. 3

Если известна алгебраическая форма комплексного числа , то, чтобы получить его тригонометрическую форму, необходимо найти его модуль r и аргумент j. Модуль определяется по формуле . Для определения аргумента j можно использовать равенства или . Рассмотрим, как можно определить аргумент j, используя равенство и знаки действительной и мнимой частей комплексного числа.

Рассмотрим уравнение . Возможны следующие четыре случая.

1. Если a > 0 и b > 0, то комплексное число z изображается точкой в первой четверти комплексной плоскости (рис. 4).

y z = (a; b)

b M(a; b)

r

0 a x

Рис. 4

В этом случае , и .

2. Если a < 0 и b > 0, то комплексное число z изображается точкой во второй четверти комплексной плоскости (рис. 5).

z y

b

r

a 0 x

Рис. 5

В этом случае , и .

3. Если a < 0 и b < 0, то комплексное число z изображается точкой в третьей четверти комплексной плоскости (рис. 6).