Глава 6. Комплексные числа (стр. 5 )

y z = (a; b)

b M(a; b)

r

0 a x

Рис. 2

Расстояние от начала координат O(0; 0) до точки M(a; b) обозначим через r. Тогда . Т. е. r - модуль комплексного числа z.

Угол j с начальной стороной, совпадающей с положительной полуосью OX и конечной стороной OM, называется аргументом комплексного числа z = (a; b) и обозначается . Таким образом, . Угол j можно записать с помощью равенства , где и . Угол называется главным значением аргумента комплексного числа z = (a; b) и обозначается . Поэтому , где и (рис. 2).

Из тригонометрии известно, что и . Из этих равенств находим и . Поэтому .

- тригонометрическая форма комплексного числа.

Так как , где и , то .

Равные комплексные числа и изображаются одной и той же точкой на координатной плоскости XOY. Поэтому определение равенства комплексных чисел в тригонометрической форме запишется в виде: и .

Таким образом, два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы равны или отличаются на .

П р и м е р. , . , т. к. , , .

§7. Действия над комплексными числами в тригонометрической

форме.

1. Умножение

Пусть и . Найдем комплексное число . Пусть , где и - пока неизвестные величины. Имеем . Из условия равенства двух комплексных чисел имеем: . Т. е. при умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

П р и м е р. Даны два комплексных числа в тригонометрической форме , . Найдем их произведение . Имеем .

Используя метод математической индукции, можно доказать формулу

,

где , , ..., .

П р и м е р.

.

2. Деление

Пусть , , - два комплексных числа в тригонометрической форме. И пусть - частное от деления на , т. е. . Из определения частного следует равенство . Или . По формуле произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме получаем . Из условия равенства двух комплексных чисел имеем , . Отсюда , .

Таким образом, .

Таким образом, при делении двух комплексных чисел в тригонометрической форме модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

П р и м е р. Даны два комплексных числа , . Найдем их частное. .

3. Возведение в степень

Пусть .  Тогда .