Глава 6. Комплексные числа (стр. 7 )

y

a

x

r

z b

Рис. 6

В этом случае , и .

4. Если a > 0 и b < 0, то комплексное число z изображается точкой в четвертой четверти комплексной плоскости (рис. 7).

y

a

x

b r

z

Рис. 7

В этом случае , и .

При нахождении аргумента следует помнить, что . Если , то , если , то и .

Предлагается самостоятельно определить аргумент j, используя равенства и

П р и м е р. Дано комплексное число . Записать его в тригонометрической форме.

Решение. Модуль z вычисляется по формуле , т. е. . Далее, так как a = -3 < 0, b =-3 < 0, то аргумент оканчивается в третьей четверти. Имеем ,

. Т. е. и .

Таким образом, .

Формулы перехода от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической

Пусть дано комплексное число . Получим формулы перехода к алгебраической форме.

Так как и , то .

П р и м е р. Записать комплексное число в алгебраической форме.

Решение. r = 4, . , . Т. е. .

Упражнения

I. Выполнить действия.

1) . 2) . 3) .

4) . 5) . 6) .

7) . 8) . 9) . 10) .

11) . 12) . 13) .

Ответы. 1) (2; 1). 2) (-3; -11). 3) (2; 16). 4) (-12; 3). 5) (-1,1); (0,3).

6) (-2; -3). 7) (3; -4). 8) (-2; 2). 9) (3; 1) и (-3; -1). 10) (0; -3). 11) (3; 14).

12) (0,9; 0,7). 13) .

II. Выполнить действия.

1) . 2) . 3) .

4) . 5) . 6) . 7) .

8) . 9) . 10) . 11) . 12) . 13) .

14) . 15) . 16) . 17. . 18) .

19) . 20) . 21) .

22) .

Ответы. 1) . 2) . 3) . 4) . 5) .