Математическая статистика (стр. 2 )

,

где ─ число вариант, меньших – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события.

Доказано, что относительная частота события стремится по вероятности к вероятности этого события. Другими словами, при больших значениях числа и мало отличаются одно от другого в том смысле, что

.

Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. Такое заключение подтверждается и тем, что обладает всеми свойствами .

Из определения функции вытекают следующие ее свойства:

1)  значения эмпирической функции принадлежит отрезку ;

2)  – неубывающая функция;

3)  если ─ наименьшая варианта, то при ;

4) если ─ наибольшая варианта, то при .

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Варианты	2	6	10
Частоты	12	18	30

Решение. Найдем объем выборки (сумма всех частот ):

.

1. Наименьшая варианта равна 2 , следовательно, при (по свойству 3 функции ).

2. Значения, меньшие 6 , а именно , наблюдались раз, следовательно, при .

3.Значения, а именно наблюдались раз, следовательно, при .

4. Так как – наибольшая варианта, то при (по свойству 4 функции ).

Искомая эмпирическая функция имеет вид:

Ниже (рис. 1) приведен график полученной эмпирической функции.

На графике на соответствующих осях отложены значения функции

и значения вариант

Рис. 1. График эмпирической функции.

3. ПОЛИГОН И ГИСТОГРАММА

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Определение 1. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки .

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Определение 2. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки .

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат относительные частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке 2 изображен полигон относительных частот следующего распределения:

	1,5	3,5	5,5	7,5
	0,1	0,2	0,4	0,3

Рис. 2. Полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длины и находят для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в - ый интервал.

Определение 3. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии и строят соответствующие прямоугольники.