Математическая статистика (стр. 3 )

Площадь - го частичного прямоугольника равна ─ сумме частот вариант - го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки .

Пример 1. Дано распределение частот непрерывного признака (табл.1).

Таблица 1

Частичный интервал, длиною	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
5 – 10	4	0,8
10 – 15	6	1,2
15 – 20	16	3,2
20 – 25	36	7,2
25 – 30	24	4,8
30 – 35	10	2,0
34 – 40	4	0,8

На рисунке 3 изображена гистограмма частот распределения объема , приведенного в таблице 1.

Рис. 3. Гистограмма частот.

Определение 4. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь - го частичного прямоугольника равна ─ относительной частоте вариант, попавших в - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Пример 2. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

	2	6	12
	3	10	7

Требуется построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 4. Полигон частот.

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

.

Таким образом

.

Получаем

	2	6	12
	0,15	0,50	0,35

Построим полигон относительных частот.

Рис. 5. Полигон относительных частот.

Пример 3. Требуется построить гистограммы частот и относительных частот данного непрерывного распределения (таблица 2).

Таблица 2

Частичный интервал длины	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
2 – 5	9	3
5 – 8	10	3,3
8 – 11	25	8,3
11 – 14	6	2

Построим гистограмму частот.

Рис. 6. Гистограмма частот.

Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки .

.

Теперь найдем относительные частоты по формуле :

Вычислим плотности частот , учитывая, что шаг :

Получаем результат, таблица 3:

Таблица 3.

Частичный интервал	Сумма относительных частот	Плотность частоты
2 – 5	0,18	0,06
5 – 8	0,2	0,07
8 – 11	0,5	0,17
11 – 14	0,12	0,04

Построим гистограмму относительных частот.

Рис.7. Гистограмма относительных частот.

4. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение 1. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых значений количественного признака .

Определение 2. Точечной оценкой называют статистическую оценку, которая определяется одним числом , где ─ результаты наблюдений над количественным признаком (выборка).

Определение 3. Несмещенной называют точечную оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, то есть . Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Рассмотрим основные точечные оценки параметров распределения.

Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака извлечена выборка объема .

Определение 4. Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.