Математическая статистика (стр. 7 )

.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:

.

Вычисляем теперь точность оценки :

;

где значение находим по таблице приложения 3.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что средняя цена акции за 300 дней заключена в пределах от ц. (гарантированный минимум) до ц. (возможный максимум).

Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в агрофирме на площади га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:

Урожайность, ц/га	23–25	25–27	27–29	29–31	31–33	33–35	35–37
Площадь, га	3	10	6	16	15	30	20

Требуется найти:

1) величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве;

2) величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве;

3) доверительный интервал, в котором с вероятностью заключена средняя урожайность на всем массиве.

Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значения признака нужно принять середины интервалов. Получим:

= (24∙3+26∙10+28∙6+30 ∙16+32 ∙15+34∙30+36∙ 20)/100 =

= 3200/100 = 32.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности вычисляем исправленное среднее квадратическое отклонение:

Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве

= = 3,4.

Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле

ц.

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3,4 ц.

Для вычисления доверительного интервала воспользуемся двойным неравенством:

.

Так как , то значение найдем из условия . По таблице приложения 2 находим значение и , следовательно, получаем:

.

Концы доверительного интервала:

и .

Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.

7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ

Определение 1. Зависимость двух случайных величин называют корреляционной, если изменение одной случайной величины приводит к

изменению среднего значения другой случайной величины.

Основные задачи теории корреляции:

1.  определить есть ли связь между случайными величинами, если есть, то найти уравнение зависимости (уравнение регрессии);

2.  определить силу (тесноту) связи между случайными величинами.

Для определения самого факта связи между случайными величинами и тесноты связи служит коэффициент корреляции. Уравнение регрессии позволяет предсказать, какие изменения в среднем будет претерпевать признак при изменении другого признака.

Если уравнения регрессии являются линейными, то есть графиками будут прямые линии, то корреляционная зависимость называется линейной.

Пусть извлечена выборка объема и исследуются два количественных признака и . Результаты измерений занесены в таблицу.

Значения			…
Значения			…

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле:

.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Значения коэффициента корреляции изменяются на отрезке [–1;1]:

.

2. Чем модуль больше и ближе к 1, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

3. Если , то между признаками функциональная связь.

4. Если , то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.

5. Если , то между признаками прямая (положительная) связь и если , то между признаками обратная (отрицательная) связь.

Выборочное уравнение прямой регрессии на имеет вид:

,

где , – выборочные средние. За приближенные значения и принимают соответственно и :

, .

Выборочное уравнение прямой регрессии на имеет вид:

.

Пример. Психологи провели тестирование среди пациентов психоневрологического диспансера. Возраст пациентов колебался от 14 до 34 лет. Затем была проведена случайная выборка объёмом n=10. Была поставлена задача: определить есть ли зависимость возраста испытуемого от значения показателя развития заболевания . Результаты этого измерения представлены в таблице 6:

Таблица 6.

	25	35	45	55	65	75	85	95	105	115
	14	18	19	20	23	23	24	26	29	34

Требуется вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии на .