Математическая статистика (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»

________________________________________________________________

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2012

УДК 517.5 Печатается по решению

РИС НовГУ

Рецензент

доктор физико-математических наук, профессор

Математическая статистика: Учебно-методическое пособие /, ; , НовГУ им. Ярослава Мудрого. - Великий Новгород, 2012. - 52с.

Изложены программа, основные понятия математической статистики, предложено много примеров, поясняющих основные теоретические вопросы, а также даны варианты контрольных работ.

Предназначено для студентов очного и заочного отделений гуманитарных специальностей.

© Новгородский государственный

университет, 2012

© , ,

,

2012

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………… …4

Программа курса «Математическая статистика»………...........................................5

1. Статистическое распределение выборки…………………………………………6

2. Эмпирическая функция распределения…………………………………………..8

3. Полигон и гистограмма……………………………………………………… …10

4. Точечные оценки параметров распределения……………………………. ..….16

5. Интервальные оценки параметров распределения …………………… …...…20

6. Решение типовых задач по математической статистике……………… …...…24

7. Элементы теории корреляции……………………………………………....…...30

Задачи для контрольной работы……………………………………………………34

Контрольные вопросы………………………………………………………………42

Приложения……………………………………………………………………….…43

Рекомендуемая литература……………………………………………………....…50

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания предназначены для студентов очных и заочных отделений гуманитарных вузов.

Работа содержит программу, методические указания для выполнения контрольных работ, задачи для контрольных работ, большое количество примеров.

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. В конце работы предложена литература по математической статистике. Хочется порекомендовать следующие замечательные книги [8] и [9], в которых студент сможет найти ответы на все вопросы изучаемого курса математической статистики.

В каждом параграфе приведены примеры, поясняющие изучаемые вопросы. Надеемся, что рассмотрение этих примеров поможет студентам при решении контрольных заданий.

Номера задач одного варианта оканчиваются на одну и ту же цифру, совпадающую с последней цифрой номера зачетной книжки. Например, если номер зачетной книжки оканчивается на 6, то нужно решать задачи всех групп, номера которых оканчиваются на 6: №№ 1.6; 2.6; 3.6; ...

При оформлении контрольной работы решения задач следует излагать по порядку, подробно, предварительно полностью переписав задание. Работа оформляется на листах формата с одной стороны.

ПРОГРАММА КУРСА

« МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

1.  Статистическое распределение выборки.

2.  Эмпирическая функция распределения.

3.  Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

4.  Выборочные средняя и дисперсия.

5.  Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал.

6.  Элементы теории корреляции.

1.  СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ

Определение 1. Генеральной совокупностью называется множество единиц, из которых производится отбор.

Определение 2. Выборкой (выборочной совокупностью) называется множество отобранных для обследования единиц.

На практике наибольшее значение получили следующие виды: случайная, механическая, типическая, серийная, комбинированная выборки.

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение наблюдалось раз, значение наблюдалось раз, …, значение наблюдалось раз.

Наблюдаемые значения признака называют вариантами, а последовательность всех вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, их сумма ─ объем выборки. Отношения частот к объему выборки есть относительные частоты (сумма всех относительных частот равна 1).

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот или относительных частот . Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (или относительными частотами).

Пример. Задано распределение частот выборки:

	2	6	12
	3	10	7

В данной выборке получены следующие варианты: ; ; , соответствующие им частоты . Требуется написать распределение относительных частот.

Решение. Определим относительные частоты, для чего найдем объем выборки

.

относительные частоты находятся по формуле:

,

Напишем распределение относительных частот:

	2	6	12
	0,15	0,50	0,35

Контроль: сумма всех относительных частот равна единице:

.

2. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака . Введем обозначения: ─ число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньше – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события равна . Если изменяется, то, вообще говоря, изменится и относительная частота, то есть относительная частота есть функция от . Так как статистическое распределение выборки находится эмпирическим (опытным) путем, то эту функцию называют эмпирической.

Определение 1. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция , определяющая для каждого значения относительную частоту события .