Тема V - Ряды (стр. 2 )

 

Таким образом, становится очевидной связь суммы ряда и несобственного интеграла 1 рода , выражающего площадь самой криволинейной трапеции. Эту связь выражает следующий достаточный признак сходимости:

Теорема 24.2. (Интегральный признак Коши)

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, т. е. и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u1, f(2)=u2,…,f(n)=un,…

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При этом

Замечание 2. Поскольку сходимость ряда не зависит от конечного числа его членов, при применении признака нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член данного ряда определяется формулой . Записав в формуле общего члена ряда х вместо n, получаем функцию . Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши (она принимает положительные значения и убывает с возрастанием х).

Рассмотрим несобственный интеграл

Предел существует и конечен, то есть интеграл сходится и, следовательно, сходится и данный ряд.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда определяется формулой . (заметим, что суммирование начинается с n=2, а при n=1 член ряда не определен, так как в знаменателе содержится множитель ln1=0; однако на исследование сходимости это не влияет). Из формулы общего члена ряда

находим функцию . Рассмотрим несобственный интеграл

.

Поскольку предел бесконечен, то интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд Дирихле , p>0

Решение. Функция при х≥1 положительна, непрерывна и монотонно убывает при любом p>0. Рассмотрим несобственный интеграл .

При р=1 имеем:,

интеграл расходится, значит, и ряд расходится.

При p<1:

, следовательно, ряд расходится.

При p>1:

,

то есть интеграл сходится, значит, и ряд сходится.

Таким образом, ряд Дирихле сходится при p>1 и расходится при .

ЗАДАЧИ

73. Исследовать на сходимость:

а); б); в); г); д); е)

Существуют и другие достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:

(1)

(2)

Теорема 24.3. (Первый признак сравнения):

Если для n ³ n0 un £ vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).

Если для n ³ n0 un ³ vn и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Теорема 24.4. (Второй признак сравнения):

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.

Для сравнения часто используются ряды:

1. Ряд (|q|<1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся. Если же q>1, такой ряд будет расходиться, поскольку не удовлетворяет необходимому признаку сходимости.

2. Ряд Дирихле сходится при р > 1, расходится при р ≤ 1

В случае p=1 имеем гармонический ряд:

. Гармонический ряд расходится.

Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины и эквивалентны при n®∞ (~, n®∞), т. к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)

Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

; ; и т. п.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Общий член ряда представляет собой дробно-рациональное выражение, так что мы можем пренебречь младшими слагаемыми, получив выражение, эквивалентное данному при n→∞:

. Ряд вида сходится как ряд Дирихле со значением р=2 (постоянный множитель на сходимость не влияет). На основании второго признака сравнения рядов заключаем, что исходный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Известно, что при x→0 tgx~x. Следовательно, при n→∞ ~ . Ряд расходится как ряд Дирихле со значением параметра р<1.

Следовательно, по второму признаку сравнения, исходный ряд сходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Поскольку , то . Ряд расходится как гармонический, следовательно, исходный ряд расходится по первому признаку сравнения.

ЗАДАЧИ

74. Исследовать на сходимость при помощи теорем сравнения:

а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к)

Теорема 24.5. (Признак Даламбера)

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .