Тема V - Ряды (стр. 3 )

Если , то:

ряд сходится, если l<1; ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.

Пример 7. Исследовать на сходимость

Решение. Общий член ряда определяется формулой . Заменяя в этой формуле n на n+1, получаем последующий член ряда:.

Составим отношение последующего члена к предыдущему:

: .

Найдем предел

Так как l=<1, то ряд сходится (по признаку Даламбера).

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь , ,

Согласно признаку Даламбера, ряд сходится.

Пример 9.

Решение. Попробуем применить признак Даламбера. Здесь

; ,

следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости данного ряда.

Используем второй признак сравнения. Легко видеть, что

. Ряд сходится как ряд Дирихле с р>1. Следовательно, и ряд сходится.

Замечание. Как видим, признак Даламбера удобно применять, если общий член ряда содержит множители вида аn, n!, nn и т. п. Если же общий член ряда является рациональной или иррациональной (как в последнем примере) дробью, то признак Даламбера неприменим, так как в этом случае соседние члены ряда отличаются друг от друга незначительно.

ЗАДАЧИ.

75. а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); н); о)

Теорема 24.6. (Радикальный признак Коши).

Если для ряда с положительными членами существует , то этот ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).

Замечание При применении признака Коши следует учитывать, что ; вообще, , где - многочлен

Пример 10. Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем . Здесь удобно применить признак Коши:

.

Так как , то ряд сходится.

Пример 11. Исследовать вопрос о сходимости ряда

Решение. Применим признак Коши.

, следовательно, ряд сходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд.

Решение. Находим

, следовательно, ряд сходится (по признаку Коши).

ЗАДАЧИ.

76. а); б); в); г)

д); е); ж); з); и); к); л)

77. Исследовать на сходимость, выбрав подходящий признак:

а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); н); о)

24.5. Знакопеременные ряды.

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

При исследовании знакопеременного ряда

прежде всего составляют ряд из абсолютных величин его членов, т. е.

Если ряд сходится, то сходится и сам ряд . В этом случае ряд называется абсолютно сходящимся.

Из расходимости ряда не следует расходимость ряда . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.