Тема V - Ряды (стр. 4 )

Замечание. Если расходимость ряда из абсолютных величин установлена на основании необходимого признака сходимости, т. е. , то и исходный знакопеременный ряд будет расходиться, т. к. в этом случае и .

Ряд является рядом с положительными членами, поэтому для исследования вопроса о его сходимости можно применять ранее рассмотренные признаки (признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак Коши).

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов исследуемого ряда:

(1)

Очевидно, ; ряд вида (2)

является рядом Дирихле со значением р=3>1, следовательно, сходится. Следовательно, ряд (1) сходится.

Таким образом, ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда сходится, следовательно, сам заданный ряд сходится абсолютно.

Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся.

Теорема 24.7. (Признак Лейбница)

Пусть последовательность >0 монотонно стремится к 0, то есть: 1); 2). Тогда знакочередующийся ряд

сходится.

Знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница, называют лейбницевским рядом.

Пример 2. Исследовать на сходимость:

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Это гармонический ряд, который расходится. Следовательно, абсолютной сходимости в данном случае нет.

Данный ряд является знакочередующимся. Проверим условия признака Лейбница:

1) очевидно, ; 2) .

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд из абсолютных величин членов данного ряда не удовлетворяет необходимому признаку сходимости:

. Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Применим признак Даламбера:

.

Таким образом, ряд сходится. Отсюда следует, что данный ряд тоже сходится, и притом абсолютно.

Замечание. В случаях, аналогичных рассмотренной задаче, когда применение признака Лейбница связано с громоздкими выкладками, выгодно сразу же исследовать знакопеременный ряд на абсолютную сходимость с помощью признака Даламбера (или Коши).

Отметим, что, если признак Даламбера (или Коши) устанавливает, что ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, расходится, то, оказывается, заданный знакопеременный ряд не может сходиться даже условно, т. е. он расходится. Действительно, если, например, , то и при n®¥, следовательно, , т. е. не выполняется необходимый признак сходимости.

Пример 5. Исследовать на сходимость:

Решение: Рассмотрим ряд и составим отношение:

.

В данном случае и признак Даламбера результата не дает. Но мы можем заметить, что для любых n верно, что , то есть . Поскольку возрастающая положительная последовательность не может сходиться к нулю, то . Таким образом, необходимый признак не выполняется для ряда из абсолютных величин, а значит, и для данного знакочередующегося ряда. Следовательно, данный ряд расходится.

ЗАДАЧИ.

78. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

а) ; б); в); г); д); е);

ж); з); и)

§ 25. Степенные ряды.

25.1. Основные понятия

Выражение вида ,

где (n=0,1,…) – некоторые функции, называется функциональным рядом. Областью существования функционального ряда называется множество значений аргумента, входящие в области существования всех его элементов. При каждом таком значении х функциональный ряд становится числовым, значит, сходится либо расходится. Множество значений аргумента, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости данного функционального ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где - числа, называемые коэффициентами ряда (некоторые из них могут быть нулями).

При степенной ряд принимает вид

Основным свойством степенных рядов является следующее:

Теорема 25.1. (Абеля):

Если степенной ряд сходится при х=х0, то он будет сходиться (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству ½х-а½<½х0-а½

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости с центром в точке а: ½х-а½<R, или a-R<x<a+R, внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого ряд расходится. На концах интервала (в точках x=a±R) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах; другие либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся; третьи расходятся на обоих концах.

Число R – половина длины интервала сходимости – называется радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то любой степенной ряд сходится лишь при х=а.

Если R=¥, то степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Одним из способов определения радиуса сходимости степенного ряда является применение признаков Даламбера или Коши к ряду из абсолютных величин членов данного ряда.

Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда

Решение

. Применим признак Даламбера: