Тема V - Ряды (стр. 8 )

§ 26. Ряд Фурье

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-p;p) называется тригонометрический ряд вида:

, где

.

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:

, где

.

Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l;l) функции сходится на всей числовой оси.

Сумма ряда Фурье S(x):

-  является периодической функцией с периодом 2l

-  на интервале (-l;l) совпадает с функцией f(x), за исключением точек разрыва

-  в точках разрыва (первого рода, т. к. функция ограничена) функции f(x) и на концах интервала принимает средние значения:

.

Говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на интервале (-l;l): .

Если f(x) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть bn=0.

Если f(x) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть аn=0

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (0;l) по косинусам кратных дуг называется ряд:

, где

.

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (0;l) по синусам кратных дуг называется ряд:

, где .

Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l, совпадающей с f(x) на интервале (0;l) в точках непрерывности.

Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l, совпадающей с f(x) на интервале (0;l) в точках непрерывности.

Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.

Пример 1.

Разложить функцию f(x)=1:

а) в полный ряд Фурье на интервале (-p;p);

б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;p); построить график полученного ряда Фурье

Решение:

а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-p;p) имеет вид:

,

причем все коэффициенты bn=0, т. к. данная функция – четная; таким образом,

Очевидно, равенство будет выполнено, если принять

а0=2, а1=а2=а3=…=0

В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: или просто 1=1.

В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.

б) Разложение на интервале (0;p) по синусам кратных дуг имеет вид:

Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:

Таким образом, для четных n (n=2k) имеем bn=0, для нечетных (n=2k-1) -

Окончательно, .

Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).

Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:

Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:

И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:

Пример 2. Разложить функцию на интервале (0;6) по синусам кратных дуг

Решение: Искомое разложение имеет вид:

Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n (натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:

или , откуда n=18. Значит, такое слагаемое содержится в правой части и коэффициент при нем должен совпадать с коэффициентом в левой части: b18=1;

или , откуда n=4. Значит, b4=-5.

Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение:

ЗАДАЧИ

83. Разложить данную функцию на указанном интервале в ряд Фурье. Построить график суммы полученного ряда

а) на (0;1) по синусам; б) на (-p;p)

в) на (0;p) по косинусам;

г) на (-3;3)