Тема V - Ряды (стр. 5 )

Согласно признаку Даламбера, ряд сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству ½х½<1 или -1<х<1.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Подставляя в данный ряд вместо х число 1, получим гармонический ряд , который, как известно, расходится.

Если х=-1, получаем числовой знакочередующийся ряд
Этот ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ; 2) .

Таким образом, данный ряд сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствам -1£х<1, и его промежуток сходимости представляет собой полузамкнутый интервал [-1;1).

Геометрически это выглядит так:

 

Пример 2. Найти область сходимости ряда:

Решение.

;

.

Следовательно, ряд сходится при , и интервал сходимости (-0,5;0,5). Геометрически это выглядит так:

 

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. В правом конце, при х=0,5, данный степенной ряд превращается в числовой ряд вида:

Этот ряд сходится по второму признаку сравнения, как ряд Дирихле со значением р=2.

В левом конце, при х=-0,5, данный степенной ряд превращается в знакочередующийся ряд который сходится абсолютно, так как сходится соответствующий ряд из абсолютных величин: .

Таким образом, данный степенной ряд сходится в обоих концах интервала сходимости, значит, областью сходимости будет отрезок [-0,5;0,5]. т. е. .

Графически:

Пример 3. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Воспользуемся радикальным признаком Коши:

при всех .

Таким образом, ряд сходится в единственной точке х=0 (радиус сходимости ряда равен нулю).

Пример 4. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение ,

ряд сходится при всех х, т. е. в интервале (-¥; +¥).

Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение: Применим признак Даламбера.

В данном случае .

Ряд сходится при (х+3)2<1, т. е. ½х+3½<1, -1<х+3<1, т. е. -4<х<-2.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка (-4; -2). При х=-4 получаем ряд - гармонический ряд, который расходится. При х=-2 также получаем расходящийся гармонический ряд

Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал (-4; -2).

 

Пример 6. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд не является степенным, но для его исследования можно применить тот же алгоритм. Применим признак Коши:

.

Таким образом, ряд сходится абсолютно при , т. е. <, откуда получаем условие x>3 или x<-3.

При x=3 получаем ряд , , ряд расходится.

При x= -3 получаем ряд - знакочередующийся ряд с монотонно убывающими членами, сходится.

Область сходимости исследуемого ряда есть объединение двух лучей (-¥ -3] È (3; ¥). Графически:

 

ЗАДАЧИ

79. Найти промежуток сходимости функционального ряда:

а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); н); о)

25.2. Вычисление сумм степенных и числовых рядов

Внутри области сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, т. е. если

, то

;

.

Это позволяет во многих случаях вычислять сумму степенного ряда, учитывая, что сумма ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле

.

Пример 1. Найти сумму ряда

Решение: Обозначим . Тогда внутри интервала сходимости данного ряда имеем:

Полученный ряд является рядом геометрической прогрессии, причем

b1=1, q=x. Следовательно, . Далее,

.

Таким образом, .

Пример 2. Найти сумму ряда .

Решение. При дифференцировании данного степенного ряда мы не получим ряд геометрической прогрессии, т. к. не сокращается знаменатель 2n-1. Представим данный ряд в виде

и найдем сумму ряда :

;