Тема V - Ряды (стр. 7 )

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример 6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х=3.

Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3<x-3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Пример 7. Написать ряд Тейлора по степеням (х-1) функции .

Решение.

Ряд сходится при , или -2 < x £ 5.

Пример 8. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=2.

Решение. Сделаем замену t=х-2:

.

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим , получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при , т. е. при .

Таким образом,

ЗАДАЧИ.

81. Разложить заданную функцию в ряд:

а) по степеням х; б) по степеням х; в) по степеням х; г) по степеням х; д) по степеням (х+1); е) по степеням (х-2); ж) по степеням х;

з) в ряд Маклорена

и) в ряд Маклорена;

к) в ряд Маклорена

25.4. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.

Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:

Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:

Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток rn(x). Для этого применяют следующие приемы:

-  если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена.

-  если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

-  в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: (или x<c<a).

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,01.

Решение. Воспользуемся разложением , где (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

.

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 53 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=53+5.

так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:

, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.

Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример 3: Вычислить интеграл с точностью до 10-5.

Решение. Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т. е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.

Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.

Таким образом, находим

.

Пример 4. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение.

. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.

. Следовательно, .

ЗАДАЧИ.

82. Вычислить приближенно, указать точность:

а) ; б); в); г) ln6; д); е); ж); з); и); к); л); м); н) .