Тема V - Ряды (стр. 1 )

ТЕМА V - РЯДЫ

§24. Числовые ряды.

24.1. Основные определения.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел:

u1, u2, …, un, …

Построим из этой последовательности выражение:

u1+ u2 + u3 +…+ un +…

Это выражение называется числовым рядом, где слагаемые u1, u2, u3,… называются членами ряда, а член un - его общим членом. Таким образом, можно сказать, что числовой ряд – это бесконечная сумма чисел. Числовой ряд часто записывается в виде . Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда: Sn = u1 + u2 + … + un. Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Если не существует (или равен бесконечности), то ряд суммы не имеет, т. е. расходится.

Пример 1. Написать первые четыре члена ряда с общим членом .

Решение. Полагая в формуле для общего члена n=1,2,3,4, получаем:

; ; ;

Итак,

Пример 2. Написать первые четыре члена ряда, общий член которого задан формулой .

Решение. Полагая в данной формуле n=1,2,3,4, получаем

; ;

; ;

Таким образом, данный ряд можно записать так:

Пример 3. Найти формулу для общего члена ряда:

, считая, что каждый его член получается по тому закону, по которому образованы записанные члены.

Решение.

Можно заметить, что члены ряда – дроби, числитель каждой из которых равен единице (первый член тоже можно представить так: ), а знаменатель есть произведение нечётного числа на соответствующую степень числа 2 (для первого члена это тоже верно: ).

Далее, так как члены ряда имеют чередующиеся знаки, нужно ввести множитель вида , чтобы получить искомую формулу: .

Замечание 1. Перечисление членов ряда не всегда может начинаться при n=1. Часто первым является член ряда с номером n=0 или, например, n=2. В таком случае и записывают ряд в виде или

Замечание 2. В формулах общего члена различных числовых рядов достаточно часто встречается знак факториала:

n!=1×2×3×4×…×(n-1)×n.

В частности, 1!=1, 2!=2, 3!=6 и т. д.; (n+1)!=n!×(n+1). Считается, что 0!=1.

Иногда используют также знак двойного факториала четных и нечетных чисел:

(2n)!!=2×4×6×…×(2n-2)(2n). В частности, (2n+2)!!=(2n)!!×(2n+2).

(2n+1)!!=1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1). В частности, (2n+3)!!=(2n+1)!!×(2n+3).

ЗАДАЧИ

70. Выписать первые четыре члена ряда:

а); б); в); г)

71. Написать простейшую формулу n-го члена ряда по указанным его первым членам и записать ряд, используя знак суммы (S):

а); б); в); г); д).

24.2. Необходимый признак сходимости числового ряда

При исследовании рядов основным вопросом является вопрос о сходимости и расходимости ряда. Непосредственное вычисление на практике не всегда выполнимо, поэтому используются признаки, на основании которых можно решить вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Следует отметить, что конечное число членов ряда влияет только на значение его суммы, но не на сам факт сходимости; при исследовании ряда на сходимость мы можем, если нужно, отбросить первые несколько членов этого ряда.

Из определения сходимости числового ряда легко вывести общее свойство всех сходящихся рядов – необходимый признак сходимости, при невыполнении которого ряд будет расходиться:

Теорема 24.1.(Необходимый признак сходимости ряда)

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

Следствие:

Если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится: расходится

Отметим еще раз, что сформулированный признак является необходимым, но недостаточным. То есть сделать на его основании вывод о том, что ряд сходится – нельзя.

Пример 1. Рассмотрим числовой ряд

Найдем предел общего члена ряда при n→ ∞ (вспомним, что в этом случае можно пренебречь младшими слагаемыми (степенями n) в числителе и знаменателе): .

Данный ряд не удовлетворяет необходимому признаку сходимости и, следовательно, расходится.

Пример 2. . Здесь . Необходимое условие сходимости ряда выполняется; сделать из этого вывод о том, сходится ряд или расходится, нельзя.

ЗАДАЧИ

72. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости; если возможно, сделать вывод о сходимости:

а); б); в); г); д); е); ж); з)

24.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Рассмотрим числовой ряд

с положительными убывающими (или невозрастающими) членами и изобразим члены этого ряда в системе координат. Через точки, соответствующие членам ряда, проходит график некоторой непрерывной, положительной и невозрастающей функции f(x):

Если записать ряд в виде: , его сумма S1 приобретает геометрический смысл площади ступенчатой фигуры, описанной около криволинейной (бесконечной) трапеции под графиком функции f(x):

Если же мы, отбросив первый член ряда, запишем , получим площадь ступенчатой фигуры, вписанной в криволинейную трапецию.