Исследовательская работа Методы решения уравнений и неравенств с параметром (стр. 4 )

 

  .

 Из последней системы мы можем записать ответ.

Ответ: при 

4. Применение классических формул

Решение многих уравнений может быть значительно упрощено применением классических тождеств, неравенств, свойств и теорем. Приведем пример решения такого уравнения.

4.1 Пример

Найти наибольшее значение функции

, где .

Решение: Найдем наибольшее значение квадрата этой функции

.

 С учетом того, что  имеем

.

 Выражение примет наибольшее значение тогда, когда наибольшее значение будет иметь подкоренное выражение.

 Имеем .

 Если сумма двух положительных переменных постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

   

  .

 Если , то ,   , .

В этом случае каждое из подкоренных выражений равно (1+a)/2 и

 Если , то значение функции будет 2.

Ответ: .

Примеры применения данных методов

Пример 1. Решить уравнение

= - .

Уравнение имеет смысл при m ≠ 0. Значение х должно удовлетворять условию cos 2x ≠ 0, tg 2x ≠ . Разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части уравнения на cos2 2x, а первой дроби правой части на cos 2x, получим уравнение

= - ,

равносильное уравнению, записанному выше.

Пустьtg 2x = z.

Несложные преобразования приводят к уравнению

z2– (3m – 1)z +2m2 + m – 6 = 0,

имеющему два корня:

z1 = m + 2, z2 = 2m – 3.

Выше было отмечено, что значения х должны удовлетворять условию tg2x ≠ . Значит, необходимо исключить те значения m, при которых z1 или z2 (или оба числа) равны .

z1 = m + 2 = при m = -1,5. При этом z2 = 2m – 3= -6.

z2 = 2m – 3 = при m = 1,75. При этом z1 = m + 2 = 3,75.

При m = -1,5 x = arctg (-6) + ;

приm = 1,75 x = arctg 3,75 + ;

при m ≠ -1,5, m ≠ 1,75, m ≠ 0 уравнение имеет два множества корней:

x = arctg(2m – 3) + , x = arctg(m + 2) + ,

k, n, s – независимо друг от друга принимают значения всех целых чисел.

Пример 2.Найти наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.

Решение: преобразуем заданное уравнение:

cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin2х – asinx = 2a – 7; sin2х - asinx + a – 4 = 0;

(sinх – 2) · = 0.

Решение уравнения (sinх – 2) · = 0 дает:

(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.

sinх - = 0;

х = (-1)narcsin + πn, nZ при ≤1.

Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Ответ: 6.

Пример 3.Найти все значения параметра а, при которых уравнение 2asinx – cos 2x + 3 – 2a2 = 0 имеет решение.

Решение. Заметим, что cos 2x = 1 – 2sin2x, тогда, преобразовав уравнение, получим

sin2x + asinx + 1 – a2 =0.