Исследовательская работа Методы решения уравнений и неравенств с параметром (стр. 1 )

Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка

Исследовательская работа

Методы решения уравнений и неравенств с параметром

Математическое моделирование

Выполнил:

,

ученик 11 А класса МОАУ

«Лицей №1»

Руководитель:

,

учитель высшей

квалификационной категории

Оренбургская область

Новотроицк

2012

Оглавление

Введение. 3

Параметр. 5

Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17

Методы решения систем уравнений и неравенств. 22

Заключение. 31

Список используемой литературы.. 32

Введение

Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

·  обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

·  возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.

Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс».

Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Объект исследования: задачи с параметрами.

Цель данной работы:

- выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;

- решить уравнения с параметрами;

- углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2. Показать способы решения уравнений с параметрами.

Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.

Мои действия:

1.  Подобрать и изучить литературу;

2.  Решить подобранные задачи;

Параметр

Имеется несколько определений параметра:

- Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, , - «Толковый словарь математических терминов»).

- Переменныеa, b, c, …, k, которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры ( – «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).

Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром. Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром.

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.

Контрольные значения параметра

Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.

Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:

- старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;

- знаменатели в дроби;

- дискриминант квадратного двучлена.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:

1.  Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.

2.  Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3.  Преобразовать уравнение-следствие к виду , где х - неизвестное, - действительные числа или функции от параметра.

4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:

а) ; б) .

5. Исключить те значения параметра, когда найденный корень (или ) обращает в нуль общий знаменатель; найти при этом значении параметра (или ).

6. Записать ответ.

Рассмотрим пример.

При каких b корни уравнения х2-4bх+4b2– 1=0 лежат на промежутке от (1; 6)?

1 способ.

х2-4bх+4b2– 1=0

Выделим квадрат двучлена:

(х-2b)2– 1=0

(х-2b)2=1

х-2b=±1

х=2b+1

х=2b-1

Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1<2b+1<6

0<2b<5

0<b<2,5

2) 1<2b – 1<6

2<2b<7

1<b<3,5

0<b<2,5

1<b<3,5 bÎ(1; 2,5)

Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2– 1=0 лежат на промежутке от

(1; 6) при bÎ(1; 2,5).

2 способ.

х2-4bх+4b2– 1=0

D=16b2-16b2+4=4>0

х1==2b+1

х2=2b-1

1) 1<2b+1<6

0<2b<5

0<b<2,5

2) 1<2b – 1<6

2<2b<7

1<b<3,5

0<b<2,5

1<b<3,5 bÎ(1; 2,5)

Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2– 1=0 лежат на промежутке от

(1; 6) при bÎ(1; 2,5).

3 способ.

х2-4bх+4b2– 1=0 – график парабола. Ветви направлены вверх.

у(1)>0 у=1-4b+4b2– 1>0

у(6)> 0 у=36-24b+4b2– 1>0

хвÎ(1; 6) 1<-<6

1) 4b2-4b>0

4b(b-1)>0

b=0

или

b=1

bÎ(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

D=576 – 560=16=42>0

b1==3,5 1<2b<6

b2==2,5 bÎ(0,5; 3)

bÎ(-∞;2,5)È(3,5;+∞)
bÎ(1; 2,5)

Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2–1=0 лежат на промежутке от

(1; 6) при bÎ(1; 2,5).

Методы решения тригонометрических уравнений с параметром

Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестное находится только под знаком тригонометрической функции. Решение таких уравнений сводится к нахождению корней одного из простейших тригонометрических уравнений.

Использование этих методов может намного упростить решение многих сложных заданий. Используя шаблон каждого метода, ученик может быстро распознать и применить к нему соответствующий метод. Представленные примеры могут быть использованы на факультативных занятиях. Это поможет ученикам приобрести опыт в решении задач данных типов.

1.  Введение дополнительных переменных

Введение дополнительных переменных позволяет упростить выражения присутствующие в заданиях и позволяет упростить выполнение задания. Этот подход может быть применен в следующих случаях.

1.1. В уравнениях вида

можно вводить дополнительную переменную  и применять следующие подстановки

1.2 .  В уравнениях вида

можно вводить дополнительную переменную  и применять следующие подстановки