Исследовательская работа Методы решения уравнений и неравенств с параметром (стр. 5 )

Пустьsinx = t, тогда уравнение сведётся к квадратному

t2 + at + 1 – a2 =0

Так как -1 ≤ sinx ≤ 1, то исходное уравнение имеет решение, когда хотя бы один из корней уравнения удовлетворял условию -1 ≤t≤ 1. При этом возможны два варианта.

1)  Уравнение имеет два корня, один из которых принадлежит отрезку [-1; 1]. Обозначим функцию, стоящую в левой части уравнения через ƒ(t). Её график – парабола с ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает отрезок [-1; 1] только в одной точке. Тогда на концах этого отрезка функция принимает значения разного знака или одно из этих значений равно нулю.

ƒ(1)*ƒ(-1) ≤ 0,

где ƒ(1) = - а2 + а + 2, ƒ(-1) = - а2 - а + 2.

Подставив ƒ(1) и ƒ(-1) в неравенство и разложив на множители, получим

(а + 1)(а – 2)(а – 1)(а + 2) ≤ 0,

откуда, используя метод интервалов, получим решение

а Î[-2; -1] È [1; 2].

2)  Уравнение имеет два корня, принадлежащих отрезку [-1; 1], или имеет единственный корень, который расположен на отрезке [-1; 1].

Это имеет место при выполнении условий

D = a2 – 4(1 – a2) ≥ 0

ƒ(1) ≥ 0

ƒ(-1) ≥ 0

-1 ≤ xв≤ 1

D ≥ 0, 5а2 – 4 ≥ 0 аÎ (-∞; ] È [; +∞);

ƒ(1) ≥ 0 - a2 + a + 2 ≥ 0 аÎ[-1; 2];

ƒ(-1) ≥ 0 -a2 - a + 2 ≥ 0 аÎ[-2; 1];

xв = , -1 ≤ xв ≤ 1 -1 ≤ ≤ 1 aÎ [-2; 2].

Решением системы является пересечение полученных четырёх множеств:

аÎ[-1;] È [; 1].

Решением системы является объединение множеств

а Î[-2; -1] È [1; 2] и аÎ[-1;] È [; 1].

Ответ: [-2; ] È[; 1].

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром

Для успешного решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром необходимо знать определение и свойства логарифма.

Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Основные свойства логарифмов:

1) ; 5) = ;

2) ; 6) ;

3) ; 7) ;

4) = ; 8) .

Также важно помнить основные свойства показательной и логарифмической функций:

1)  Область определения функции , где - всё множество действительных чисел; функции , где - множество положительных действительных чисел.

2)  Множество значений функции - множество положительных действительных чисел; функции - всё множество действительных чисел.

3)  Промежутки монотонности: если обе функции возрастают; если - обе функции убывают.

Замечание. 1) В соответствии со вторым свойством, при решении логарифмических уравнений необходимо либо выяснять область допустимых значений уравнения, либо после решения делать проверку.

Третье свойство необходимо помнить при решении неравенств.

Показательные уравнения

Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени некоторых величин. Большинство показательных уравнений с параметрами сводится к показательным уравнениям вида: а f (x) = b φ(х) (*), где а>0, b>0. Если , то уравнение равносильно уравнению .

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода: 1) переход от уравнения к уравнению вида; 2) введение новых переменных.

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического или квадратного уравнений.

Рассмотрим примеры решения показательных и логарифмических уравнений с параметром

Пример 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

- 2(а + 1)+ 9а – 5 = 0

имеет четыре решения.

Решение. Обозначим t = . Тогда исходное уравнение примет вид

- 2(a + 1)t +9a – 5 = 0 (t > 0, t ≠ 1, E(t) = [1; +∞] )

Рассмотрим сначала уравнение t = .

1.  При t = 1 это уравнение имеет одно решение = 1, х2 = 0, х = 0

2.  При t > 1 справедливо > 0. Поэтому уравнение = t имеет два решения = t х2 = х1,2 =

Следовательно, исходное уравнение имеет четыре решения, если полученное квадратное уравнение имеет два корня t1 и t2 > 1.