Определим границу второго неравенства: 
а = 1,5х – 2
Синим цветом обозначен график а = - х, красным - а = 1,5х – 2, чёрным цветом обозначен график х = - 4.
Находим область решения системы неравенств: для этого подставим в первое неравенство пробную точку (1; 0), получим 5 > 0, что неверно, следовательно, решение будет находиться внутри острых углов прямых а = - х и х = -4.
Подставим пробную точку (1; 0) во второе неравенство, получим – 1 < 0, что верно, значит решение будет находиться выше прямой а = 1,5х – 2.
Множество решений системы содержит отрезок от -2 до -1 оси ох внутри обозначенного прямоугольника от 
до 
.
- это ордината пересечения прямых а = 1,5х – 2 и х = - 1
= - 1,5 – 2 = - 3,5
- это ордината пересечения прямых а = - х и х = - 1
= 1
Ответ: а 
[- 3,5; 1]
Примеры решения задач геометрическим методом
Задача 1. При каких значениях параметра а система уравнений имеет два решения?
Преобразуем первое уравнение:
= - 
- 12х – 27 = 
1) При у 
у =
2) При у 
у = 
Преобразуем второе уравнение: + 
- 
+ 12х + 36 = 0
+ = - окружность с центром (-6; 0) и радиусом а.
Построим график функции = :
Из графика мы видим, что два пересечения с окружностью + = будет тогда и только тогда, когда окружность будет касаться графика с внешней стороны.
Следовательно, а = 
= 
9.
Ответ: а = 9.
Задача 2. При каких значениях параметра а система неравенств имеет единственное решение?
Решение. Преобразуем систему:
Первое неравенство представляет собой окружность с центром (-2; -1) и радиусом |а|; решение находится внутри неё, так как 
должно быть 
.
Второе неравенство также является окружностью с центром в точке (4; 7) и радиусом |2a + 3|; решение находится вне окружности, так как выражение 
должно быть 
.
Далее возможно несколько случаев.
1 случай. При а = 0 первая окружность вырождается в точку 
= 0, отсюда: х + 2 = 0 и у + 1 = 0; х = - 2, у = - 1, проверим, подставив данные значения во второе неравенство:
100 
,
значит значение а = 0 удовлетворяет системе.
2 случай. При а = - 
вторая окружность вырождается в точку, тогда
, что выполняется при любых значениях х и у, то есть неравенство имеет бесконечное множество решений.
Проверим, подставив а = - в первое неравенство: 
- это множество точек внутри и на границе окружности; оно не удовлетворяет условию.
3 случай. Так как решением окружности с центром (-2; -1) и радиусом |a| является внутренняя область окружности, а решением окружности с центром (4; 7) и радиусом |2а+3| является область вне окружности, то одно решение будет в том случае, если окружность с центром (-2; -1) и радиусом |a| будет внутри окружности с центром (4; 7) и радиусом |2а+3|, то есть одно решение системы будет достигаться в том случае, когда окружности будут иметь одну общую точку внутреннего касания.
К = 
+ 
К, где = 10,
К = |а|,
К = |2a + 3|, отсюда:
|2a + 3| = 10 + |а|
Ответ: при а = - 13, а = 0, а = 7 система имеет только одно решение.
Заключение
Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметром эффективнее решать сведением их к квадратичной функции, учитывая допустимые значения независимой переменной и ограниченность этих функций. Системы уравнений и неравенств с параметром легче поддаются решению и анализу при использовании функционально-графических методов.
При изучении темы я познакомился с такими понятиями как параметр, контрольные значения параметра, с общей схемой решения квадратных, тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром; научился определять границы функции в зависимости от параметра, составлял математические модели при решении задач. Выполняя работу, тем самым я готовлюсь к Единому Государственному Экзамену и вступительным испытаниям в Высшее Учебное Заведение; я повысил математическую культуру в рамках школьного курса математики, а так же приобрёл навыки исследования, которые пригодятся мне при обучении в ВУЗе.
Список используемой литературы
- – «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997;
- , , - «Толковый словарь математических терминов»
- , , – «ГИА-2010. Экзамен в новой форме. Алгебра. 9 класс: Тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме
- – «Задачи с параметрами»
- Корянов – «Задания типа С1-С6. Методы решения».
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
