Аналитический метод решения уравнений и неравенств с параметром был описан выше, я считаю, что он недостаточно эффективен при решении систем уравнений и неравенств с параметром, функционально-графические методы решения значительно рациональнее в этих случаях, поэтому этот метод я рассматривать не буду.
Умения, необходимые для реализации функционально-графических методов:
1) Умение строить графики функций;
2) Умение изображать на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству;
3) Умение строить семейство кривых, зависящих от параметра а.
Примеры решения задач координатно-параметрическим методом
Задача 1. При каких значениях параметра а существует хотя бы одно значение х, удовлетворяющее системе
Решение. Сначала рассмотрим первое неравенство. Разложим его на множители: 
= 0
D = 
– 4(
+ 2а)
Если дискриминант является полным квадратом, тогда идём далее по решению, если же нет – переходим к аналитическому методу.
D = 
+ 20а +4 – 
- 8а = 
+ 12а + 4 = 
х = 
х1 = - 4а – 2 а = 
- 
х2 = - а а = - х
Мы получим две границы, то есть пару прямых.
Рассмотрим второе уравнение:
+ 
= 4 это окружность с центром (0; 0) и радиусом 2.
,
, 
- точки пересечения графиков а = - х и а = - с окружностью + = 4.
Подставим в первое неравенство пробную точку (1; 0), получим 3
0, что неверно, решением системы будут дуги, образованные острыми углами, то есть ответ будет таков: а 
(
; 
) 
; ).
Определим и : это точки пересечения прямой а = - х и окружности + = 4:
= 4 = 
, 
Определим 
: это точки пересечения прямой а = - с окружностью + = 4:
а(17а + 16) = 0
а3 = 0
= 
Ответ: а (; ) 
; 
).
Задача 2. Найти все значения параметра а, при которых система имеет единственное решение.
Решение. Выразим а в обоих неравенствах:
Найдём границы областей первого неравенства: а = 
Пересечение с осью ох будет в точках: 
= 0; 
= - 2 
= - 1
= - 1
Найдём границы областей второго неравенства: 
= а
Пересечение с осью ох будет в точках: = 0; = 4 = 2 = 
Красным цветом обозначена функция = а, синим - а =
Из графика видно, что при а = 0 и а = 1 имеется одна общая точка пересечения с областью решения системы, то есть при а = 0 и а = 1 система будет иметь одно решение.
Ответ: а = 0; а = 1.
Задача 3. При каких значениях параметра а множество решений системы неравенств содержит отрезок [-2; -1] по оси ох?
Решение. Так как множество решений системы неравенств должно содержать отрезок [-2; -1] по оси ох, следовательно, у = 0, тогда система приобретёт вид:
Определим границу первого неравенства:
х = - а; х = - 4 а = - х; х = - 4.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
