А это будет, если:
a
Ответ: при a
уравнение имеет четыре решения.
Пример 2. При каких значениях а уравнение
lg2(sin3x) – 2(a + 1)lg(sin3x) + 9a – 5 = 0 имеет решения? Найти их.
Решение. Обозначив t = lg(sin3x), получим уже привычное квадратное уравнение
- 2(a + 1)t +9a – 5 = 0
Найдём область значений t. Функция sin3x меняется от -1 до 1, поскольку логарифмы отрицательных чисел не существуют, рассмотрим значения х, при которых 0 < sin3x 
1. При этих х функция lg(sin3x) меняется в промежутке от -
до 0, т. е. E(t) = (-; 0].
Исходное уравнение имеет решения, если квадратное уравнение имеет хотя бы один корень в промежутке (-; 0].
Возможны два варианта:
1. Оба корня принадлежат этому промежутку
2. Только меньший корень ему принадлежит.
Обозначим 
= - 2(a + 1)t +9a – 5.
Случай 1 имеет место, если 
Случай 2 имеет место, если 
9а – 5 0 а 
Итак, мы нашли, что исходное уравнение имеет решения при а .
Ответ: при а уравнение имеет решения.
Пример 3. При каких а неравенство
- (2а + 3)
+ 6а – 16 
Выполняется при всех -2
?
Решение. Приведя неравенство к виду
- (2а + 3) + 6а – 16 ,
и обозначив t = 
, получим
- (2a + 3)t + 6a – 16
.
Поскольку -2
, то 
t = 
2.
Таким образом, наша задача свелась к следующей. Найти все а, при которых неравенство - (2a + 3)t + 6a – 16 выполняется при всех t
2. Последнее имеет место при выполнении условий:
Ответ: а 
Пример 4. Решить уравнение
2 – log 
(1 + х) = 3 log а 
- log 
(х 2 – 1)2.
Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.
Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:
log а а2 + log a(х2 - 1) = log а () 3 + log a
,
log а (а2 (х2 - 1)) = log а (() 3),
а2 (х2 - 1) = (х - 1) 
,
а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1) .
Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1) и на 
. Тогда получим 
= .
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
а4 (х + 1) = х – 1 
а4 х + а4 = х – 1 х( 1 - а4 ) = а4 + 1.
Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то 
.
Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть 
.
Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:
, 
.
Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при а < 1.
Итак, при 0 < a < 1 x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.
Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;
при а > 1 решений нет;
при 0 < a < 1 .
Методы решения систем уравнений и неравенств
Выделяют две разновидности методов:
1) Координатно-параметрический;
2) Геометрический;
3) Аналитический
Координатно-параметрический метод эффективен в задачах, в которых фигурирует одна неизвестная и один параметр. Его применение основано на изображении в системе координат оха и оах.
Геометрический метод может быть использован, если уравнение или неравенство имеет две переменных и один параметр. Применение геометрического метода сводится чаще всего к рассмотрению семейств кривых в плоскости оху в зависимости от параметра а.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
