Тема VI – Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 3 )

- однородное уравнение.

Сделав замену , получаем уравнение с разделяющимися переменными:

;

.

Интегрируя, получаем общее решение

или (где С=), откуда .

При разделении переменных мы делили обе части уравнения на , считая, что это выражение не равно 0. Непосредственной подстановкой в уравнение и в общее решение убеждаемся, что функции t=±1 являются особыми решениями уравнения.

Возвращая старую функцию y=tx, получаем окончательно:

общее решение исходного уравнения и особые решения y=±x.

ЗАДАЧИ

88. а); б);

в); г)

89. Среди уравнений в задаче 85 укажите: уравнения с разделяющимися переменными; приводящиеся к ним; однородные уравнения.

27.4. Линейные уравнения первого порядка

§  Дифференциальное уравнение вида

(4)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Особенность этого уравнения в том, что оно линейно относительно неизвестной функции и ее производной, т. е. у и у´ входят в это уравнение в первой степени (и не перемножаются между собой).

§  При b(x)=0 уравнение (4) принимает вид

(5)

и называется линейным однородным уравнением первого порядка.

Однородное линейное уравнение (5) является также уравнением с разделяющимися переменными и может быть решено следующим образом:

;

;

;

(6)

Одним из методов решения уравнения (4) является метод вариации произвольной постоянной. При этом решение уравнения (4) ищут в виде (6), считая, что С=С(х) – некоторая функция. Подставляем это выражение в (4):

так как , причем , то получаем

, или

,

откуда находим С(х):

.

Таким образом, общее решение уравнения (3) имеет вид

.

Пример 1.

Имеем линейное уравнение относительно у. Решим соответствующее линейное однородное уравнение:

.

Воспользуемся методом вариации произвольной постоянной: будем искать решение исходного уравнения в виде . Подставим это выражение для у в уравнение и найдем неизвестную функцию С(х):

;

; .

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид: .

Пример 2.

Уравнение не является линейным относительно неизвестной функции у(х). Но мы можем рассматривать х как функцию аргумента у, при этом и уравнение принимает вид

,

то есть является линейным относительно неизвестной функции х(у). Решим соответствующее линейное однородное уравнение:

.

Воспользуемся методом вариации произвольной постоянной:

;

;

;

.

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

К линейным уравнениям приводятся так называемые уравнения Бернулли:

(7)

Для решения такого уравнения следует разделить его на и сделать замену .

При этом , так что уравнение (7) принимает вид:

.

Последнее уравнение является линейным и решается методом вариации произвольной постоянной.

Пример 3.

Имеем уравнение Бернулли, a=3. Разделим его на у3:

.

Замена: приводит уравнение к виду:

, или - линейное уравнение относительно функции z(x). Решив его и выполнив обратную замену, получим общее решение исходного уравнения

ЗАДАЧИ

90. а); б); в); г); д); е); ж); з); и). к)

27.5. Уравнения в полных дифференциалах

§  Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

(8)

при условии, что правая часть уравнения представляет собой первый дифференциал некоторой функции F(x, y):

, то есть (в наших обозначениях)

. (9)

Теорема 27.2.

Для того, чтобы уравнение (8), где функции М(х;у) и N(х;у) непрерывны и имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие

. (10)

Отметим, что это условие следует из равенства повторных производных , которое справедливо для любой дважды дифференцируемой функции F(x, y).