Тема VI – Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 7 )

ЗАДАЧИ

96. Для каждого из данных уравнений выпишите правую часть и определите, является ли она функцией специального вида. Если да, выпишите значения параметров a, b, k:

а); б); в); г); д); е)

97.Решить:

а); б); в); г); д); е); ж); з); з); и);

к); л); м); н); о);

п); р)

28.4. Метод вариации произвольных постоянных

В общем случае, если вид правой части не позволяет воспользоваться методом подбора частного решения, общее решение уравнения (4) можно найти при помощи метода вариации произвольных постоянных.

Теорема 28.5.

Пусть найдено общее решение однородного уравнения (5):

. Тогда общее уравнения (4) имеет вид ,

где функции удовлетворяют системе уравнений

Пример.

Решим соответствующее однородное уравнение:

.

;

- два комплексно сопряженных корня кратности 1, следовательно, общее решение: .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

,

где

Разрешая систему относительно С1´ и С2´, получаем

,

откуда интегрированием находим

.

Таким образом, получаем общее решение данного уравнения:

.

ЗАДАЧИ

98. а) ; б) ; в)

§29. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

29.1. Основные понятия

§  Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется совокупность ОДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции их производные. Система ОДУ первого порядка, разрешенных относительно производной:

(1)

называется нормальной системой ОДУ. При этом число уравнений равно числу искомых функций.

Решением системы (1) называется совокупность из n функций y1,…,yn, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (1) имеют вид:

. (2)

Задача Коши для системы (1) состоит в нахождении решения системы (1), удовлетворяющего начальным условиям (2).

29.2. Решение систем линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим частный случай нормальной системы уравнений, а именно систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

Для простоты ограничимся рассмотрением системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями у и z:

(3)

Одним из методов интегрирования нормальных систем вообще и системы (3) в частности является сведение системы к одному ОДУ высшего порядка.

Пример 1.

Выразим из первого уравнения , продифференцируем: и подставим во второе уравнение: , или .

Характеристическое уравнение полученного линейного уравнения: имеет корни . Следовательно, общее решение . Подставив в выражение для z, получаем:

Таким образом, общее решение системы:

, .

Зная структуру общего решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (3), нетрудно доказать, что характеристическое уравнение полученного из нее линейного уравнения второго порядка совпадает с характеристическим уравнением системы:

. (4)

Заметим, что числа l, удовлетворяющие этому уравнению, называются собственными значениями матрицы .

Этот факт позволяет несколько упростить процесс интегрирования системы.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Составим и решим характеристическое уравнение системы:

.

Таким образом, компонента у общего решения системы имеет вид:

.

Выразим z из первого уравнения и подставим полученное выражение для у:

.

Поскольку С1 и С2 – произвольные постоянные, решение системы не изменится, если умножить или разделить их на какое-либо ненулевое число. Так что общее решение системы можно записать в виде:

,

.

ЗАДАЧИ

99. а) б) в)

29.3. Элементы теории устойчивости

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(5)

§  Решение системы (5), удовлетворяющее начальным условиям называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует число такое, что для всякого решения системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям