Тема VI – Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 5 )

§  Функции называются линейно независимыми, на (a;b) если равенство выполняется на этом промежутке лишь в том случае, когда числа . В противном случае (если существуют такие коэффициенты , не равные 0 одновременно) функции называется линейно зависимыми.

§  Множество линейно независимых частных решений уравнения (5) называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема 28.2.

Если частные решения уравнения (5) образуют фундаментальную систему решений, то общее решение уравнения (5) имеет вид , где С1,С2,….,Сn – произвольные постоянные

§  Характеристическим уравнением для уравнения (5) называется алгебраическое уравнение n-го порядка вида:

. (6)

Так, для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка:

характеристическим уравнением будет квадратное уравнение

.

Напомним, что квадратное уравнение обычно решают при помощи дискриминанта , причем возможны три случая:

- , тогда уравнение имеет два различных действительных корня ;

- , тогда имеется единственный корень кратности 2: ;

- , тогда действительных корней нет, но составляют так называемые комплексно сопряженные корни: , где – так называемая мнимая единица.

Алгебраическое уравнение n-го порядка (6) имеет ровно n корней, считая кратные и комплексно сопряженные корни.

Каждому корню характеристического уравнения (6) соответствует элемент фундаментальной системы решений по следующему правилу:

Корень уравнения (6)	Кратность корня	Соответствующие элементы фундаментальной системы решений
l1 – действительный корень	1
2
3
…
l1,2=a±ib – два комплексно сопряженных корня	1
2
…

Пример 1.

Характеристическое уравнение:

;

l1=0 – действительный корень кратности 1, следовательно,

l3=-1 – действительный корень кратности 2, следовательно,

.

Таким образом, общее решение данного уравнения:

.

Пример 2.

Характеристическое уравнение:

;

l1=0 – действительный корень кратности 2, следовательно,

- два комплексно сопряженных корня кратности 1, следовательно,

.

Таким образом, общее решение:

.

Пример 3.

Характеристическое уравнение:

;

;

- два комплексно сопряженных корня кратности 2, следовательно,

Таким образом, общее решение:

.

ЗАДАЧИ

93. Выписать соответствующие однородные линейные уравнения и составить характеристические уравнения:

а); б); в)

94. По данным характеристическим уравнениям составить однородные линейные уравнения:

а) ; б) ; в)

95. а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л);

м); н); 16..

28.3. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Теорема 28.3. (о структуре общего решения):

Общим решением линейного уравнения с постоянными коэффициентами

(4)

является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения: .

Теорема 28.4. (о наложении решений):

Если правая часть уравнения (4) представляет собой сумму двух функций: , а и - частные решения уравнений

и

,