Тема VI – Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 9 )

30.2. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Особое место среди ДУЧП занимают так называемые квазилинейные уравнения 2-го порядка. Запишем такое уравнение относительно функции двух переменных в общем виде:

.

Эти уравнения часто встречаются в математических моделях физических процессов и теория их решения наиболее хорошо разработана.

Дискриминантом данного уравнения называется функция .

Говорят, что данное уравнение принадлежит

-  к эллиптическому типу в области, где D<0

-  к гиперболическому типу в области, где D>0

-  к параболическому типу в области, где D=0.

Оказывается, подходящей заменой переменных квазилинейное уравнение параболического типа можно привести к каноническому виду:

,

уравнение гиперболического типа – к каноническому виду

уравнение параболического типа – к каноническому виду

С последними уравнениями мы познакомимся как с уравнением колебаний струны (волновым уравнением) и уравнением теплопроводности.

30.3. Уравнение свободных колебаний струны, закрепленной на концах

Уравнение вида

(1)

с краевыми условиями

(2)

и начальными условиями

(3)

(4)

описывает закон колебаний однородной тонкой нерастяжимой струны длины l, закрепленной на концах в точках х=0 и х=l (условия (2)), с начальной формой j(х) (условие (3)) и начальной скоростью y(х) (условие (4)), в поле действия внешней силы (например, силы тяжести, в магнитном поле и т. п.). Постоянный параметр a2 зависит от свойств струны, функция F(x;t) - от внешней силы. Если F(x;t)=0 – это значит, что внешней силы нет (или ей можно пренебречь) и колебания называются свободными.

Отметим, что колебания рассматриваются малые (отклонение u точек струны от положения равновесия – оси Ох – мало), плоские (колебания происходят только в плоскости хOu), поперечные (каждая точка струны движется строго перпендикулярно положению равновесия).

Уравнение свободных колебаний струны, закрепленной на концах:

имеет решение вида

,

где коэффициенты Аn и Вn находят из начальных условий.

Именно, подставляя в u(x;t) t=0 получаем

,

то есть Аn – коэффициенты Фурье для функции j(х) при разложении на интервале (0; l) по синусам кратных дуг.

Далее, дифференцируя u(х;t) по t и подставляя t=0 получаем:

,

то есть – коэффициенты Фурье для функции y(х) при разложении на интервале (0; l) по синусам кратных дуг.

Напомним, что коэффициенты Фурье в общем случае вычисляются при помощи интегралов (см. тему «Ряд Фурье», с.38), а иногда их можно подобрать (если раскладываемая функция представляет собой сумму синусов кратных дуг).

Пример 1.

Решение: Имеет место задача свободных колебаний струны, закрепленной на концах (в точках 0 и 2). Здесь а2=9, т. е. а=3; l=2. Поэтому решение имеет вид:

.

Подставим t=0:

,

Используя первое начальное условие, получаем:

.

Можно подобрать коэффициенты An так, чтобы равенство выполнялось тождественно:

при n=3, следовательно, .

Чтобы использовать второе начальное условие, продифференцируем u(x;t) по t:

и подставим t=0:

Таким образом, получаем условие

,

и подбираем коэффициенты:

Итак, имеется всего два ненулевых слагаемых: при n=2 () и при n=3 (). Окончательно, получаем решение:

.

Замечание. Часто начальная скорость точек струны y(х)=0 (то есть рассматриваются колебания струны, которую в начальный момент времени оттянули и отпустили без рывка), тогда, очевидно, Вn=0.

Пример 2.

Решение: Имеем задачу свободных колебаний струны, закрепленной на концах, где a=1, l=3. Решение имеет вид:

Используем первое начальное условие:

.

Подобрать коэффициенты An здесь нельзя, будем их вычислять как коэффициенты Фурье разложения функции x(3-x) на интервале (0;3) по синусам:

.

Второе начальное условие тривиально, поэтому Bn=0.

Таким образом, получаем ответ:

.

ЗАДАЧИ

102.

; ;

; ;

;

30.4. Уравнение свободных колебаний бесконечной струны.

Уравнение свободных колебаний бесконечной струны:

(без краевых условий)

решают при помощи формулы Даламбера:

Пример.

Решение: Имеем задачу свободных колебаний бесконечной струны (без краевых условий). Применяем формулу Даламбера:

=

.

ЗАДАЧИ

103.

; ; ;

30.5. Уравнение теплопроводности.

Уравнение вида

с краевыми условиями

и начальным условием

описывает закон распределения температуры в однородном стержне длины l, на концах которого поддерживается нулевая температура. Функция F(x;t) характеризует существующие внутри стрежня точки (источники) выделения или поглощения тепла. Если таковые отсутствуют, F(x;t)=0 и уравнение называется однородным.

Решение однородного уравнения теплопроводности:

ищут в виде

где коэффициенты Cn находятся из начального условия, так же как при решении уравнения свободных колебаний струны, закрепленной на концах.

ЗАДАЧИ

104.