Тема VI – Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 8 )

, (6)

имеют место неравенства

(7)

для всех .

Проще говоря, решение является устойчивым по Ляпунову, если малое отклонение начальных условий приводит к малому отклонению решения.

§  Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенства (7) не выполняются, то решение называется неустойчивым.

§  Если, кроме выполнения неравенств (7) при условии (6) выполняется также условие

, (8)

то решение называется асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость решения системы (5) может быть при помощи подстановки сведено к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения некоторой системы, аналогичной системе (5):

(9)

§  Решение называется точкой покоя системы (9).

Геометрически устойчивость точки покоя по Ляпунову означает, что каким бы узким ни был цилиндр радиуса e с осью Ох, найдется d-окрестность точки (0;0;х0) такая, что всеинтегральные кривые, выходящие

из этой окрестности, для всех будут оставаться внутри этого цилиндра. Асимптотическая устойчивость точки покоя означает, что все такие интегральные кривые имеют прямую в качестве асимптоты при .

Есть простая физическая аналогия для понятия устойчивости. Рассмотрим обычный шарик. Возможны три типа положений покоя для шарика: на плоскости - устойчивое, в нижней точке впадины – асимптотически устойчивое, в верхней точке выпуклости - неустойчивое.

29.4. Простейшие типы точек покоя

Рассмотрим систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(10)

причем .

Решение y=0, z=0 называется точкой покоя или особой точкой системы (10).

Составим характеристическое уравнение системы (10):

и найдем его корни l1, l2.

Возможны следующие случаи:

I.  Корни характеристич. уравнения вещественные и различные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

б) . Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

в) . Точка покоя неустойчива (седло).

(На рисунках изображен «вид снизу» на интегральные кривые; стрелки указывают направление кривых при возрастании х.)

II.  Корни уравнения (11) комплексные: .

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

б) . Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

в) . Точка покоя устойчива (центр).

III. Корни кратные:

а) Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел)

б) Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел)

ЗАДАЧИ

100. Исследовать на устойчивость точку покоя системы:

а) б) в) г)

ТЕМА VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (ДУЧП)

§ 30. Дифференциальные уравнения в частных производных.

30.1. Основные понятия. Уравнения, разрешимые в общем виде.

Дифференциальное уравнение относительно функции двух и более переменных называется уравнением в частных производных. Порядком ДУЧП называется порядок старшей входящей в него производной искомой функции.

Решением ДУЧП называется функция, при подстановке которой вместе с ее частными производными в уравнение, получается верное тождество. Общим решением – совокупность всех его решений. Отметим, что в общем виде разрешима ничтожная часть ДУЧП, именно – уравнения, требующие непосредственного интегрирования, вида

.

Пример 1.

Для того, чтобы из исходной функции u(x;y) получить , необходимо ее продифференцировать дважды по переменной х (считая у постоянной величиной). Для решения же данного уравнения следует проделать обратную операцию. Т. е. проинтегрировать уравнение дважды по х (также считая у постоянной):

Отметим, что роль произвольной постоянной С1 в неопределенном интеграле играет произвольная функция С1(у), не зависящая от х, и значит обращающаяся в 0 при дифференцировании по х.

Далее интегрируем снова по х (С1(у) считается постоянной!)

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид

Пример 2.

Исходную функцию продифференцировали дважды, по х и по у. Напомним, что порядок дифференцирования при этом не важен. Для решения уравнения его следует дважды проинтегрировать, по х и по у. Порядок интегрирования не повлияет на результат, но может повлиять на трудоемкость интегрирования. Так, в данном случае при интегрировании по х придется воспользоваться методом интегрирования по частям. Но проще первое интегрирование уравнения провести по переменной у (считая х постоянной):

Теперь интегрируем по х, считая у постоянной. Отметим, что первообразной для произвольной функции С1(х) является произвольная функция . Таким образом, получаем общее решение:

ЗАДАЧИ

101. а); б); в)