Тема VI – Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 6 )

то - частное решение уравнения (4).

Для правых частей специального вида частное решение можно найти методом подбора. Общий вид правой части f(x), для которой возможно применить метод подбора, следующий:

, (7)

где - многочлены степени m и l соответственно. В этом случае частное решение ищется в виде

,

где , – многочлены порядка k с неопределенными коэффициентами,

s – кратность корней характеристического уравнения (если не являются корнями характеристического уравнения, то s=0).

Коэффициенты многочленов подбираются таким образом, чтобы при подстановке функции вместе с ее производными в уравнение (4) получалось верное тождество.

Если правая часть (4) представляет собой сумму нескольких функций вида (7): , то, согласно теореме о наложении решений, частное решение этого уравнения является суммой , где - частное решение уравнения с правой частью .

Пример 1.

Характеристическое уравнение имеет однократные корни , поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .

Правая часть данного уравнения представляет собой многочлен второго порядка, т. е. . Так как число не является корнем характеристического уравнения то s=0 и частное решение будем искать в виде

,

где А, В и С – неизвестные коэффициенты. Тогда

.

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получаем:

.

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях х в левой и правой частях равенства:

х2: 2А = 1,

х: -6А+2В = 0,

х0: 2А-3В+2 С = –1.

Решая полученную систему линейных уравнений, находим: .

Таким образом, ,

и общее решение данного уравнения имеет вид

.

Пример 2.

Характеристическое уравнение имеет корни l1=0 кратности 2 и l2=1 кратности 1, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .

Правая часть данного уравнения представляет собой многочлен второго порядка: , число является корнем характеристического уравнения кратности s=2 поэтому частное решение будем искать в виде

, тогда

,

,

.

Подставляя эти выражения в данное уравнение, имеем:

,

откуда

Эта система имеет решение: А=-1, В=-5, С=-15, следовательно,

,

и общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Пример 3.

Характеристическое уравнение имеет корни l1=1 и l2,3=±i кратности 1, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Правая часть данного уравнения представляет собой сумму трех функций специального вида:

. Найдем частные решения соответствующих уравнений.

1) Для уравнения

Имеем: ; число является корнем характеристического уравнения кратности s=1. Следовательно, ищем частное решение в виде

.

Тогда

,

,

.

Подставляем в уравнение:

,

то есть , откуда А=1, В=-2, следовательно,

.

2) Для уравнения

имеем ; числа являются корнями характеристического уравнения кратности s=1. Следовательно, частное решение имеет вид

, тогда

,

,

.

Подставляя в уравнение, получаем:

,

то есть , откуда .

Следовательно, .

3) Для уравнения

имеем ; числа не являются корнями характеристического уравнения.

Следовательно, частное решение имеет вид

,

,

,

.

Подставляя в уравнение, получаем:

,

откуда А=-2, В=0, следовательно, .

Таким образом, общее решение исходного уравнения: