Тема VI – Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 4 )

Общее решение уравнения в полных дифференциалах (8) имеет вид

,

причем функцию F(x, y) находят из условий (9).

Действительно, поскольку , то при каждом фиксированном значении y=const функция F(x,y) является первообразной функции M(x,y), то есть

.

Здесь M1(x,y) – некоторая первообразная функции M(x,y), а j(у) играет роль произвольной постоянной в неопределенном интеграле (так как при дифференцировании по х любая функция, зависящая только от у, обращается в 0).

Далее, используя условие , то есть , получают простейшее уравнение первого порядка относительно j(у) и, выбирая какое-либо частное решение последнего, находят окончательно искомую функцию F(x, y).

Пример.

Обозначим .

Проверим, выполняется ли условие (10):

,

.

Как видим, , следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Будем искать решение этого уравнения в виде .

Поскольку , имеем:

.

Продифференцируем полученный результат по х:

. Поскольку , имеем:

; следовательно,

.

Выберем частное решение последнего уравнения j(х)=0.

Таким образом, ,

и общее решение исходного уравнения: .

Если уравнение (8) не является уравнением в полных дифференциалах, то иногда можно подобрать функцию m(х, у), после умножения на которую левая часть уравнения (1) превращается в полный дифференциал. Такая функция m(х, у) называется интегрирующим множителем. Отметим частные случаи, когда легко найти интегрирующий множитель:

- если (т. е. не зависит от х) то ;

- если (т. е. не зависит от у) то .

Заметим, что в обоих случаях имеет смысл опустить произвольную постоянную в неопределенном интеграле, т. к. постоянный множитель еС не влияет на свойство уравнения быть уравнением в полных дифференциалах.

Пример.

Здесь . Имеем: .

Следовательно, .

Умножая обе части исходного уравнения на найденный интегрирующий множитель, получаем:

– уравнение в полных дифференциалах.

ЗАДАЧИ

91. Определить, если возможно, тип уравнений:

а); б); в); г); д)

92. Решить: а);

б); в); г)

§28. ОДУ высших порядков

28.1. Основные понятия

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид: (1)

или, если оно разрешено относительно старшей производной:

(2)

Решением ОДУ (2) называется любая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Как и для уравнения первого порядка, задачей Коши для уравнения (2) называется задача нахождения решения уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям

. (3)

Теорема 28.1. (существования и единственности решения задачи Коши):

Если в уравнении (2)функция непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой области D изменения переменных , то для всякой точки существует единственное решение задачи (2),(3).

Общим решением уравнения (2) называется функция , где С1,…,Cn – произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1) является решением ОДУ (2) при любом наборе постоянных С1,…,Cn,

2) любое решение задачи Коши (2),(3) имеет вид при некоторых значениях постоянных С1,…,Cn.

Уравнение вида , которое определяет общее решение дифференциального уравнения (2) в неявном виде, называют общим интегралом этого уравнения.

Решение уравнения (2), получающееся из общего при некотором наборе постоянных С1,…,Сn, называется частным решением. График частного решения называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Пример.

Это уравнение простейшего вида, которое решается последовательным интегрированием:

;

;

Поскольку значение постоянной С1 никак не связано со значениями остальных слагаемых в полученном общем решении, решение не изменится, если ее умножить на 2.

Таким образом, общее решение: .

28.2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение вида

, (4)

где - постоянные числа ().

§  Если , уравнение (4) принимает вид

(5)

и называется линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами.

Замечательным свойством линейных уравнений (в том числе и с функциональными коэффициентами) является следующее:

Утверждение. Если функции являются частными решениями уравнения (5), то решением этого уравнения является также функция

, где С1,С2,….,Сn – произвольные постоянные.