Рабочая программа учебной дисциплины Методы математической физики (стр. 7 )

4.1. Разделы дисциплины и виды занятий

№ п/п	Раздел дисциплины	Лекции, ч.	ПЗ, ч.
1	Полуклассическая квантовая механика	2	2
2	Математические основы квантовой механики	8	6
3	Уравнение Шредингера. Одномерные стационарные задачи	12	10
4	Центрально-симметричное движение	8	2
5	Квазиклассический метод. Теория возмущений и вариационный метод	8	2
6	Спин электрона. Тождественность частиц	6	2
7	Рассеяние частиц	2
8	Плотность квантовых состояний	2	2
9	Каноническое распределение квантового газа	4	2
10	Распределение Ферми-Дирака. Электронный газ в металле и полупроводнике	8	2
9	Распределение Бозе-Эйнштейна. Фотонный газ. Фононный газ.	6	4
10	Конденсация Бозе-Эйнштейна	2
Общий объем в часах	68	34

4.2. Содержание разделов дисциплины, излагаемых на лекциях

4.2.1. Введение. Полуклассическая квантовая механика – 2 ч.

Волна де-Бройля. Плотность вероятности. Квантование по Бору–Зоммерфельду.

4.2.2. Математические основы квантовой механики – 8 ч.

Волновая функция. Линейные операторы, их собственные функции и значения. Эрмитовы операторы и их свойства. Ортонормированный базис для невырожденного и вырожденного спектра, для дискретного и сплошного спектра. Разложение по ортонормированному базису. Соотношения неопределенностей.

4.2.3. Уравнение Шредингера – 3 ч.

Операторы импульса, трансляции и эволюции. Волновое уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Плотность и ток вероятности. Изменение физических величин с течением времени. Координатное и импульсное представления.

4.2.4. Одномерные стационарные задачи – 9 ч.

Условия сшивания для прямоугольных потенциалов. Бесконечно глубокая и конечная прямоугольные потенциальные ямы. Дельтаобразные ямы и барьеры. Частица в однородном электрическом поле, треугольная яма. Двухбарьерное туннелирование. Линейный гармонический осциллятор. Когерентные состояния. Модель Кронига–Пенни одномерной кристаллической решетки: волна Блоха, зона Бриллюэна, групповая скорость, эффективная масса, поверхностные уровни Тамма. Метод эффективной массы.

4.2.5. Центрально-симметричное движение – 8 ч.

Операторы момента количества движения, их собственные функции. Уравнение Шредингера в сферической и цилиндрической системах координат. Радиальный импульс. Плоский и пространственный ротатор. Трехмерный и двухмерный водородоподобный атом. Частица в однородном магнитном поле, уровни Ландау. Эффект Ааронова–Бома.

4.2.6. Квазиклассический метод ВКБ – 3 ч.

Основы метода. Туннельный эффект. Холодная эмиссия электронов из металла.

4.2.7. Теория возмущений и вариационный метод – 5 ч.

Теория возмущений стационарных состояний дискретного невырожденного и вырожденного спектров, первый и второй порядки теории возмущений. Нестационарные возмущения. Периодическое возмущение. Вычисление вероятностей оптических переходов. Частота Раби. Вариационный метод Ритца и его применение для линейного осциллятора и треугольной ямы.

4.2.8. Спин электрона, тождественность частиц – 6 ч.

Спин и его описание. Уравнение Паули. Тождественность частиц и принцип Паули. Спиновая и координатная части волновой функции двух электронов. Обменное взаимодействие. Перепутанные состояния. Кубит.

4.2.9. Рассеяние частиц – 2 ч.

Интегральное и дифференциальное эффективные сечения рассеяния. Рассеяние на центрально-симметричном потенциале. Формула Резерфорда, рассеяние на экранированных примесях. Интегральная форма уравнения Шредингера. Борновское приближение.

4.2.10. Квантовая статистическая физика – 6 ч.

Плотность квантовых состояний трехмерного, двухмерного, одномерного газа электронов, газа в магнитном поле, фотонного газа, фононного газа.

Каноническое распределение Гиббса для квантовых систем. Статистическая сумма. Вычисление термодинамических характеристик. Применение теории к колебаниям двухатомных молекул, системе пространственных ротаторов, к двухуровневой квантовой системе.

Большое каноническое распределение для квантовых систем. Статистическая сумма. Распределение по энергетическим состояниям

4.2.11. Распределение Ферми-Дирака – 8 ч.

Химический потенциал, уровень и энергия Ферми. Вырожденный и невырожденный газ. Уравнение состояния для слабо вырожденного газа. Электронный газ в металле. Распределение электронов по энергии. Температура Ферми. Внутренняя энергия, теплоемкость, давление, энтропия электронного газа. Химический потенциал, внутренняя энергия, теплоемкость слабо - и сильно вырожденного газа. Распределение электронов по модулю скорости. Термоэлектронная эмиссия, формула Ричардсона–Дашмена. Магнитные свойства электронного газа в металле. Парамагнитная спиновая восприимчивость. Распределения электронов и дырок для собственной и примесной проводимостей полупроводника, уровень Ферми полупроводника, внутренняя энергия электронов и дырок. Двухмерный электронный газ. Флуктуация числа частиц.

4.2.12. Распределение Бозе-Эйнштейна – 8 ч.

Химический потенциал. Распределения фермионов, бозонов, классических частиц.

Фотонный газ. Равновесная концентрация фотонов. Формула Планка. Законы Вина, Стефана-Больцмана. Свободная энергия, энтропия, давление.

Фононный газ. Теория кристаллической решетки Дебая. Частота и температура Дебая. Внутренняя энергия и теплоемкость кристалла при высоких и низких температурах. Закон Дебая. Наиболее вероятная энергия фонона. Двухмерный кристалл в приближении Дебая.

Конденсация Бозе-Эйнштейна. Число частиц, химический потенциал и температура конденсации. Внутренняя энергия, теплоемкость, свободная энергия, энтропия, давление, выделяющаяся при конденсации теплота. Осуществление конденсации. Атомный лазер. Двухмерный Бозе-газ.

4.3. Перечень практических занятий.

№ ПЗ	№ раздела	Практические занятия
1	4.2.1	Полуклассическая квантовая механика – 2 ч.
2 – 4	4.2.2	Математические основы квантовой механики – 6 ч.
5 – 9	4.2.3–4	Уравнение Шредингера. Одномерные стационарные задачи – 10 ч.
10	4.2.5	Центрально-симметричное движение – 2 ч.
11	4.2.7	Теория возмущений, вариационный метод – 2 ч.
12	4.2.8	Спин электрона. Тождественность частиц – 2 ч.
13	4.2.10	Плотность квантовых состояний – 2 ч.
14	4.2.10	Каноническое распределение квантового газа – 2 ч.
15	4.2.11	Распределение Ферми–Дирака – 2 ч.
1 16 – 17	4.2.12	Распределение Бозе–Эйнштейна – 4 ч.

5. Список литературы

а) Основная литература:

Краснопевцев механика. Учебное пособие. Новосибирск, НГТУ, 2003. – 220 с.

Краснопевцев физика равновесных систем. Учебное пособие. Новосибирск, НГТУ, 2002. – 157 с.

, , Краснопевцев физики: Задачи с примерами решений. Новосибирск, НГТУ, 2004. – 104 с.

Дубровский в квантовую и статистическую физику. Новосибирск, НГТУ, 2005.

, , Коган по квантовой механике.

Ч. 1, 2. М., 2001.

, , Николаев по термодинамике и статистической физике. М., 1997.

б) Дополнительная литература:

, Кривченков механика с задачами. М., 2001.

Квасников и статистическая физика. Т. 1, 2. М., 2003.

, , Аксенов задач по статистической физике. М, 2004.

, , Николаев и статистическая физика. Теория равновесных систем. М., 1986.

6. Образцы контролирующих материалов

Фрагмент контрольного задания № 2

2.1.  На потенциальный барьер падает частица с энергией Е (E < U0). Найти вероятность ее обнаружения при x > 0.

2.2.  Найти фазу отраженной волны в задаче 2.1. Рассмотреть случаи U0 → 0, U0 → ¥.

2.3.  Частица с энергией Е (E > U0) падает на потенциальный барьер шириной а. Найти волновые функции в областях 1, 2, 3.

2.4.  Найти коэффициент прохождения для барьера задачи 2.3.

2.5.  Найти энергию частицы, проходящей без отражения через барьер задачи 2.3.

2.6.  Частица с энергией E = 3U0/4 находится в потенциальной яме шириной 2а, глубиной U0. Найти волновые функции в областях 1, 2, 3.

2.7.  Найти уровни энергии в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, показанной на рисунке.