5.  Компактные метрические пространства.

Тема 2

Мера и интеграл Лебега, измеримые функции

Вопросы для обсуждения

1.  Интеграл Римана. Ступенчатые функции.

2.  Функции, - малые по Лебегу.

3.  - приближенная функция.

4.  Мера Лебега и ее свойства.

5.  Множества меры нуль.

Тема 3

Банаховы пространства

Вопросы для обсуждения

3.  Теорема Хана – Банаха в нормированном пространстве и некоторые ее следствия.

4.  Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве.

Тема 4

Принцип сжимающих отображений и его применение

Вопросы для обсуждения

1.  Непрерывные отображения метрических пространств.

2.  Свойства непрерывных отображений.

3.  Непрерывные отображения компактов.

4.  Связные метрические пространства.

5.  Принцип сжимающих отображений и его применение.

Тема 5

Определение линейного оператора. Взаимосвязь непрерывности и ограниченности операторов

Вопросы для обсуждения

1.  Определения линейного функционала и линейного оператора.

2.  Представление линейных функционалов в линейных, нормированных, гильбертовых пространствах.

3.  Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве.

Тема 6

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Вопросы для обсуждения

1.  Собственные значения и собственные функции линейного оператора.

2.  Спектр оператора. Спектральная функция.

3.  Интегралы по спектральной функции. Основная спектральная теорема.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

4.  Альтернатива Фредгольма.

5.  Сопряженные и самосопряженные операторы. Описание спектра самосопряженного оператора при помощи его спектральной функции.

Тема 7

Симметричные операторы Фредгольма

Вопросы для обсуждения

1.  Операторнозначные функции.

2.  Аналитические и мероморфные функции.

3.  Ряд Неймана и аналитическое свойство резольвенты.

4.  Теорема Келдыша.

5.  Корневые векторы и корневые подпространства несамосопряженных операторов.

Тема 8

Взаимосвязь непрерывности и ограниченности операторов

Вопросы для обсуждения

1.  Постановка задачи. Дефектные подпространства симметрического оператора. Преобразование Кэли. Формула фон Неймана.

2.  Размерность по модулю. Индекс дефекта.

3.  Описание симметрических расширений данного симметрического оператора. Расширения с выходом из гильбертова пространства.

4.  Спектры самосопряженных расширений симметрического оператора.

Тема 9

Комплексные числа

Вопросы для обсуждения

1.  Комплексные числа, действия над ними.

2.  Алгебраические и тригонометрические формы записи комплексного числа.

3.  Модуль и аргумент комплексного числа.

Тема 10

Функции комплексного переменного. Конформные отображения

Вопросы для обсуждения

1.  Конформные отображения.

2.  Элементарные функции комплексного переменного (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические).

3.  Примеры задаваемых отображений.

Тема 11

Интегральная теорема Коши

Вопросы для обсуждения

1.  Первообразная и интеграл.

2.  Интегральное определение логарифма.

3.  Интегральная формула Коши.

Тема 12

Ряд Лорана

Вопросы для обсуждения

1.  Разложение аналитических функций в ряд Лорана.

2.  Классификация изолированных особых точек.

3.  Вычеты, их применение для вычисления интегралов

Приложение 3. Лабораторный практикум – не предусмотрен

Приложение 4. Самостоятельная работа студентов

4.1. Задания для самостоятельной работы

– подготовка выступлений по теме занятия;

– подготовка презентаций;

– подготовка выступления по проблеме исследования магистранта;

- решение примеров.

Приложение 5. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине

Контрольная работа № 1

Тема: «Функциональный анализ»

1. Доказать, что если множества А и В измеримы, то .

2.  Найти неподвижную точку отображения С, .

3.  Найти предельные, граничные, внутренние точки и точки прикосновения множества .

4.  Является ли пространство , метрическим?

Контрольная работа № 2

Тема: «Теория линейных операторов»

Вариант 1

1. Можно ли в пространстве Rn метрику ввести по формуле: ?

2. Является ли отображение в пространстве (R2, r) сжимающим? Найти неподвижную точку. Метрика задана формулой: , где , .

3. Найти оператор обратный данному (если существует):

а) в пространстве R3, ,

б) в пространстве m ограниченных последовательностей, .

4. Найти собственные значения и собственные функции оператора: , , .

5. Найти резольвенту, резольвентное множество и спектр оператора А: R2 ® R2. .

6. При каких значениях a, b, g, d оператор А: R3 ® R3 будет самосопряженным?

Контрольная работа № 3

«Функциональный анализ»

1. Найти модуль и аргумент комплексного числа. Представить число в тригонометрической и показательной формах записи. Изобразить на комплексной плоскости: .

2. Найти все значения корня и изобразить их на плоскости: .

3. Построить в комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству: .

4. Проверить выполнение условий Коши-Римана и найти производную:

5. Вычислить значения функций: ; ; .

Контрольная работа № 4

1.  Найти вычеты функции относительно ее изолированных особых точек.

2. Найти изолированные особые точки функции и выяснить их характер.

3. Вычислить интеграл:

4. Разложить функцию в ряд по степеням .

1.2.  Методические указания к выполнению самостоятельной работы

При выполнении самостоятельно работы нужно обратиться к Приложению 7. Дополнительные учебно-методические материалы

5.1. Технологическая карта дисциплины

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тобольская государственная социально-педагогическая академия

им. »

физико-математический факультет

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА

Ф. И.О. _____________________________________________________________________________

Наименование образовательной программы, профиля: «Педагогическое образование», проблемное поле «Математическое образование»

Год обучения: 2013-2014

Семестр: 9,10,11

Наименование дисциплины: Избранные вопросы математического анализа

Количество аудиторных часов на дисциплину: 16 часов.

Форма отчётности: зачет

Ф. И.О. преподавателя:

Утверждено на заседании кафедры 21 ноября 2012 г. протокол № 3.

9 семестр

№

Контрольное мероприятие

Ауд.

или

внеауд.

Баллы

1

Подготовка выступлений к практическим занятиям

Внеауд.

0-8

2.

Подготовка презентаций

Внеауд.

0-8

3

Работа на практических занятиях:

1) посещение практических занятий

2) выступление на практическом занятии

3) участие в обсуждении

4) решение задач

Ауд.

0-2/8

0-2/8

0-1/4

0-1/4

Итого:

0-40

1

Подготовка выступлений к практическим занятиям

Внеауд.

0-8

2.

Подготовка презентаций

Внеауд.

0-8

3

Работа на практических занятиях:

1) посещение практических занятий

2) выступление на практическом занятии

3) тест

Ауд.

0-2/8

0-2/8

0-8

Итого:

0-40

Итоговый контроль

Всего: минимум – 0, максимум –100

1.  «зачет» или «3» - от 61 балла до 72 баллов;

2.  «4» - от 73 баллов до 86 баллов;

3.  «5» - от 87 баллов до 100 баллов

премиальные баллы от 1 до 3 баллов

Реферат

Зачет

Итого

0-20

0 - 100

10 семестр

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5