Общие свойства гармонических колебаний (стр. 10 )

Распространяющиеся в непоглощающей и недиспергирующей*) среде волны описываются классическим дифференциальным волновым уравнением:

, (7.1)

где – оператор Лапласа, V – фазовая скорость волны (в дальнейшем для краткости мы будем называть ее просто скоростью).

В случае упругих волн x – смещение частицы среды от положения равновесия, для электромагнитных волн вместо x в уравнении (7.1) фигурирует напряженность электрического поля Е или индукция магнитного поля B.

Скорость упругой волны в твердом теле определяется величиной модуля упругости G и плотности вещества r: V =; скорость электромагнитной волны зависит от диэлектрической проницаемости e и магнитной восприимчивости m среды, в которой распространяется волна: V = = с/n; здесь с = – скорость электромагнитной волны в вакууме, n = – показатель преломления среды.

В одномерном случае (волна распространяется по оси X) уравнение (7.1) упрощается:

. (7.1,а)

Упругие волны могут быть продольными и поперечными (смещения частиц происходят вдоль направления распространения волны и перпендикулярно ему, соответственно). В жидкостях и газах распространяются только продольные волны, в твердых телах – как продольные, так и поперечные. Электромагнитные волны – всегда поперечные (векторы Е и В перпендикулярны скорости волны V, причем Е^В). Направление скорости электромагнитной волны V совпадает с направлением векторного произведения [ЕВ].

Уравнением волны называется соотношение, в явной форме отражающее зависимость x(x, y, z, t) – а это решение дифференциаль-ного уравнения (7.1). В частности, уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся по оси X, имеет вид:

x(x,t) = A×cos(wt – kx + j0). (7.2)

Здесь А – амплитуда гармонической волны, w – циклическая частота, k = w/V = 2p/l – т. н. «волновое число». Напомним, что величина (wt – kx + j0) называется фазой, j0 – начальной фазой.

Совокупность точек, колеблющихся в одной и той же фазе, составляет волновую поверхность. Волновых поверхностей бесконечно много, «самая передняя» из них называется фронтом волны. Волна, описывающаяся соотношением (7.2), потому и называется плоской, что все ее волновые поверхности – плоскости.

Если размерами источника волн можно пренебречь (точечный источник), то волновые поверхности являются сферическими и уравнение волны принимает вид (см. задачу 7.1):

x(r,t) = ×cos(wt – kr). (7.3)

Здесь r – радиус вектор, соединяющий источник с данной точкой пространства; k = (2p/l)(V/V) – т. н. «волновой вектор».

Плотностью энергии волны W0 называется энергия, приходящаяся на единицу объема среды, в которой распространяется волна. Упругая волна несет с собой кинетическую и потенциальную энергии (первая представляет собой кинетическую энергию колеблющихся частиц, вторая – энергию деформации среды): W0 = T0 + U0. Плотности кинетической (T0) и потенциальной (U0) энергий распространяющейся гармонической волны (7.2) одинаковы:

T0(t) = U0(t) = (rA2w2/2)×sin2(wt – kx), (7.4)

поэтому полная плотность энергии упругой волны:

W0(t) = rA2w2×sin2(wt – kx). (7.5)

Энергия электромагнитной волны складывается из энергии электрического и магнитного полей. Поэтому полная плотность энергии электромагнитной волны W0 = W0Е + W0В, где

W0Е (t) = ee0E2(t)/2, W0В (t) = B2(t)/2mm0. (7.6)

В распространяющейся электромагнитной волне напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются в фазе, причем в любой момент времени в данной точке пространства W0Е(t) = W0В(t). Отсюда следует связь между величинами электрического и магнитного полей в волне:

B(t) = ×E(t) = E(t)/V. (7.7)

С учетом соотношений (7.6) и (7.7) плотность энергии электромагнитной волны может быть выражена следующим образом:

W0(t) = ee0×E2(t) = B2(t)/mm0 = ×V. (7.8)

Основные энергетические характеристики переноса энергии волнами (как упругими, так и электромагнитными) таковы:

a) Плотность потока энергии (количество энергии, переносимое волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны):

S(t) = W0(t)×V. (7.9)

б) Интенсивность волны (среднее по времени значение плотности потока энергии):

I = <S(t)> = <W0(t)>×V. (7.10)

При усреднении по времени плотности энергии волны учтем, что среднее по времени значение квадрата гармонической функции равно 1/2, поэтому, например, для электромагнитной волны – см. (7.8):

I = E0B0/2mm0, (7.10,a)

где E0 и B0 – амплитудные значения напряженности электрического и индукции магнитного полей, соответственно.

в) Векторы Умова (для упругих волн) и Пойнтинга (для электромагнитных волн):

S(t) = W0(t)×V. (7.11)

В частности, вектор Пойнтинга можно записать в виде:

S(t) = [EB]/mm0. (7.11,a)

г) Средние по времени значения векторов Умова и Пойнтинга («векторная интенсивность»):

<S(t)> = <W0(t)>×V. (7.12)

В частности, для электромагнитной волны

<S(t)> = [E0B0]/2mm0. (7.12,а)

д) Поток энергии волны через некоторую поверхность s и среднее по времени значение этого потока:

Ф(t) = = , (7.13)

<Ф(t)> = = . (7.14)

Здесь ds – вектор, модуль которого равен элементарной площадке ds, а направление совпадает с направлением нормали к этой площадке; Sn – нормальная к площадке ds составляющая вектора S.

Перейдем к конкретным задачам по рассматриваемой теме.

Задача

5.24.  Доказать, что амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника волн r (см. соотношение (7.3)).

Решение.

Чем дальше от источника уходит сферическая волна, тем на большую площадь распределяется испускаемая источником энергия (S = 4pr2). Соответственно, тем меньшая энергия (~ 1/r2) приходится на каждую колеблющуюся частицу. Из формул (7.4) и (7.8) следует, что плотность энергии волны W0(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний (А2 для упругой, Е2 или В2 для электромагнитной волн). Следовательно, амплитуда колебаний в сферической волне обратно пропорциональна расстоянию от источника до данной точки А ~ ~ 1/r (см. ф-лу (7.3)).

Задача

5.25.  Доказать, что уравнение x(x,t) = A×cos(аt – bx) описывает гармоническую волну, распространяющуюся по оси Х. Найти фазовую скорость этой волны и направление ее распространения.

Решение.

Постоянному значению фазы волны соответствует условие at – bx = const. Продифференцируем это соотношение: adt – bdx = 0. Отсюда следует, что координата точки с постоянной фазой перемещается со скоростью V = dx/dt = a/b. Это и есть по определению фазовая скорость волны. Если отношение a/b > 0, волна распространяется по оси Х, если a/b < 0 – в противоположном направлении.

Задача

5.26.  Один конец горизонтального шнура длиной L = 6 м закреплен, другой перемещают по вертикали по закону: y(t) = A×sin4pt. На шнуре при этом наблюдаются три точки, в которых шнур остается все время неподвижным. Изобразить вид колеблющегося шнура и указать места, в которых максимальны потенциальная и кинетическая энергии волны. Найти скорость распространения «бегущей» упругой волны по этому шнуру. Сопоставить распределения кинетической и потенциальной энергии по длине шнура для «бегущей» и «стоячей» волн.

Решение.