Общие свойства гармонических колебаний (стр. 15 )

I0×U0×cosj . (6.14)

Отметим, что в общем случае несинусоидального переменного тока коэффициент, связывающий амплитудное и действующее значения, будет иным. Процедура нахождения этого коэффициента определяется равенствами:

; .

Покажем это на простом примере «пилообразного» тока.

Задача

7.2.  Найти действующее значение тока, если максимальное значение его равно I0, а сам ток зависит от времени по закону, показанному на рисунке.

Решение

В рассматриваемом случае I(t) = k×t в пределах одного периода колебаний, где k = (см. рис.). Тогда:

.

Таким образом . Точно так же получаем .

Рассмотрим ещё одну задачу, в которой вскрывается суть важных для рассмотрения цепей переменного тока понятий омического, активного и полного сопротивлений цепи переменного тока.

Задача

7.3.  Омическое сопротивление провода, из которого намотан дроссель (катушка с железным сердечником, используемая обычно в сетевых фильтрах электропитания) равно R = 26 Oм, активное Ra = 30 Oм, полное Z = 80 Oм. Определить потери мощности на перемагничивание железного сердечника дросселя, если напряжение, под кото­рым находится дроссель, равно U = 220 В.

Решение

На омическом сопротивлении (сопротивление постоянному току) выделяется мощность

.

Полная мощность, расходуемая в цепи переменного тока определяется величиной активного сопротивления, которое учитывает потери не только на выделение «джоулева» тепла, но и на другие процессы (работу двигателя переменного тока, пермагничивание сердечников и т. п.). В этом случае

.

Поскольку затрачиваемая мощность может быть записана также в виде

,

ясно, что RA = Z ×cosj .

Разница между величинами РА и РR в рассмотренном в данной задаче случае затрачивается на перемагничивание сердечника:

= 27 Вт .

Задачи для самостоятельного решения.

7.4.  Найти действующие значения для тока меняющегося по законам, показанным на рисунках:

а) б)

7.5.  Цепь переменного тока состоит из последовательно включенных сопротивления R = 80 Ом, индуктивности L = 0,56 Гн и емкости С = 30 мкФ. Цепь включена в бытовую электросеть (напряжение U = 220 В, f = 50 Гц). Найти: а) действующее значение силы тока в цепи, б) сдвиг по фазе между током и напряжением.

7.6.  В условиях предыдущей задачи найти действующие значения напряжений, UR , UL и Uc на зажимах каждого из элементов цепи и выделяющуюся в цепи мощность Р.

7.7.  В цепи переменного тока используется плоский конденсатор, изолятор которого промок и он стал нагреваться. При частоте f = 50 Гц коэффициент мощности оказался равен 0,6. Определить по этим данным удельное сопротивление изолятора, если его диэлектрическая проницаемость равна e = 4,8.

7.8.  * К бытовой электросети (на­пряжение U = 220 В, f = 50 Гц) присоединен дроссель, соединенный последовательно с сопротивлением R = 40 Oм. Напряжение, измеренное вольтметром на дросселе равно U1 = 160 В, а на сопротивлении U2 = 80 В. Какие мощности потребляются дрос­селем (Р1) и сопротивлением (Р2)?

7.9.  * Дроссель и сопротивление R = 40 Oм присоединены параллельно к бытовой электросети. При этом амперметр, включенный в цепь дросселя, показывает силу тока I1 = 2 A, другой амперметр в цепи сопротивления – ток I2 = 1,5 A, а от сети потребляется ток I0 = 3 А. Какая мощность потребляется дросселем и сопротивлением?

7.10.  К бытовой электросети (на­пряжение U = 220 В, f = 50 Гц) присоединены параллельно реостат с сопротивлением R = 40 Ом и дроссель с индуктивностью L = 80 мГн и омическим сопротивлением r = 26 Oм. По дросселю идет ток силой I1 = 2 А. Какой ток идет по реостату и какой ток потребляется от сети?

7.11.  Найти полное сопротивление цепочки, состоящей из параллельно соединенных емкости С и сопротивления R. Записать, как зависят от времени токи через емкость, сопротивление и всю цепочку, если напряжение меняется по закону U = U0cosωt (обратить внимание на фазовое соотношение).

7.12.  Изобразить векторную диаграмму для электрического контура, показанного на рисунке. Предполагается, что подаваемое между точками А и В напряжение изменяется по гармоническому закону.

7.13.  Выполнить задание 6.12 для контура:

7.14.  На рисунке показана простей­шая схема сглаживающего фильтра. На вход подают напряжение U = U0(l + cosωt). Найти: а) выходное напряжение U(t),

б) значение величины RC, при котором амплитуда переменной составляющей напряжения на выходе будет в n = 10 раз меньше постоянной составляющей, если w = 314 рад×с -1

7.15.  Переменное напряжение, действующее значение которого U = 10 В, а частота f = 50 Гц, подано на катушку без сердечника с индуктивностью L = 2 мГн и сопротив­лением R = 100 мОм. Найти количество теплоты, выделяющееся в ка­тушке за секунду.

7.16.  К сети переменного тока с действующим напряжением U = 120 В подключили катушку, индуктивное сопротивление которой ХL = 80 Ом и полное сопротивление Z = 100 Ом. Найти разность фаз меж­ду током и напряжением, а также мощность, потребляемую катушкой.

7.17.  При какой частоте напряжения, подаваемого на цепочку последовательно соединенных элементов R = 50 Ом, L = 1 мГн, С = 1 мкФ, ток отстает от напряжения по фазе на p/4?

7.18.  В электрической схеме между точками, находящимися под напряжением U = U0×cosωt , включен конденсатор ёмкости С. Пространство между об­кладками конденсатора заполнено слабо проводящей средой с сопротивлением R. Как зависит от времени сила тока, протекающего через данный участок цепи?

7.19.  К участку цепи, состоящему из последовательно соединенных элементов R, L и C, приложено переменное напряжение с действующим значением U = 220 В и частотой v = 50 Гц. Сопротивление цепи R = 110 Ом, ёмкость конденсатора равна 50 мкФ. Индуктивность L подбирается так, чтобы показание вольтметра, включенного параллельно конденсатору, стало максимальным. Чему равна эта индуктивность? Найти показания вольтметра и амперметра в этих условиях.

7.20.  Параметры последовательного колебательного контура (R, L, C) таковы: С = 5 нФ, R = 0,1 Ом. Какую мощность Р надо подводить к контуру, чтобы поддержи­вать в нем незатухающие колебания на частоте w = 200 рад/c с амплитудой напря­жения на конденсаторе UC0 = 10 В?

7.21.  Найти условие «баланса токов» для цепочки, состоящей из параллельно соединенных идеальных емкости и индуктивности – минимума силы тока в подводящих проводах.

7.22.  * К показанному на рисунке контуру приложено переменное напряжение с действующим значением U = 220 B. Параметры контура: С = 0,4 мкФ, L = 0,4 Гн, R = 2 Ом. Построить векторную диаграмму. Найти зависимость полного сопротивления контура от частоты w приложенного переменного напряжения. Определить, при каком значении частоты wр ток в сечении 1 будет минимальным («баланс токов»)? Каково при этом полное сопротивление контура Zр?

7.23.  * В условиях предыдущей задачи найти, чему равны при резонансной частоте действующие значения сил токов, текущих в цепи конденсатора, катушки индуктивности и в подводящих проводах IС, IL и I соответственно?

7.24.  * Какой должна быть добротность колебательного контура Q, чтобы частота, при которой наступает «баланс токов» wр, отличалась от частоты, при которой наступает «резонанс напряжений» w0, не более чем на 5 % ( 0,05)?

*) Заметим, что если углы отконения не превышают 0,1 рад (5,7°), то отличие sina от a составляет всего 0,2%.

*) Такая система моделирует свободную двухатомную молекулу.

*) коэффициент пропорциональности между возникающим вращательным моментом упругих сил и углом закручивания

*) См. примечание на стр. 19 раздела 2.

**) Аналог индуктивной связи в задаче 3.4.

*) коэффициент пропорциональности между силой вязкого трения, действующей на тело, и его скоростью

*) Такой режим реализуется обычно в «баллистических приборах» (например, в «баллистических гальванометрах»).

*) Недиспергирующими называются среды, в которых скорость распространения волны не зависит от частоты колебаний.

*) На понятии «действующее значение» мы остановимся подробнее ниже.

*) Так же как при механических колебаниях опережает по фазе на p/2 – см. соотношения (5.4) и (5.3).

*) Соответствующее напряжение часто называют реактивным.

*) Отношение амплитуды реактивного сопротивления к амплитуде силы тока.

**) Альтернативой является применение символического метода на основе представления колебаний в комплексной форме.

*) Далее под обозначениями U и I без индекса мы будем понимать именно действующие значения переменного тока и напряжения.