Общие свойства гармонических колебаний (стр. 9 )

б) число колебаний Ne, за которые амплитуда уменьшается в е раз и добротность Q, в) при какой частоте тока через катушку wрт колебания стержня достигнут наибольшей амплитуды?

Решение

На вопросы (а) – (б) легко ответить, исходя из сведений о затухающих колебаниях:

а) , b×th = lnh , = 1 c-1 .

б) » 3,2 , Q = p×Ne = 10.

При ответе на последний вопрос необходимо учесть, что частота воздействия вынуждающей силы на железный стержень в два раза больше, чем частота тока в катушке.

в) рад×с-1.

5.2.  В системе, описанной в предыдущей задаче, стержень колеблется с амплитудой A = 1,5 мм при частоте тока в катушке w1 = 11 рад×с-1. Найти:

а) амплитуду колебаний при резонансе Ар,

б) относительное отклонение резонансной частоты колебаний от собственной , в) выразить амплитуду колебаний при низкой частоте Аω®0 (статическое отклонение) через Ар.

Решение

а) Исходя из амплитуды вынужденных колебаний на частоте w1 , можно определить величину fm :

Þ 0,14 H/кг.

Далее, подставляя в выражение для амплитуды (5.5) значение резонансной частоты (5.7), получаем полезное соотношение:

. (5.8)

Окончательно: мм.

б) Относительное отличие резонансной частоты колебаний от собственной равно:

.

Приближенное вычисление корня (d << 1) дает:

(т. е. 0,125 %).

в) Амплитуда колебаний при низкой частоте Аω®0 (статическое отклонение):

» (5.9)

В условиях рассматриваемой задачи мм.

Приведем также точный вид амплитудной резонансной кривой для рассмотренного случая вынужденных колебаний. Горизонтальным пунктиром указан уровень амплитуды вынужденных колебаний в раз меньший резонансного (что соответствует уменьшению колебательной энергии в 2 раза). Он определяет “ширину резонансной кривой” Dw. Нетрудно показать, что Dw = 2b и понятие добротности получает новую трактовку:

. (5.10)

Задачи для самостоятельного решения.

5.3.  Изобразить зависимость сдвига фаз между смещением и вынуждающей силой от ее частоты a = a(ω) для случая вынужденных колебаний при гармоническом внешнем воздействии. Рассмотреть случаи: ω ® 0, ω ® , ω » ωp.

5.4.  Показать, что в системах с малым затуханием (b << w0) ширина амплитудной резонансной кривой Dw » 2b , а сдвиг фаз между вынуждающей силой и смещением при w = w0 ± b равен p/4 и 3p/4, соответственно.

5.5.  Колебательная система характеризуется логарифмическим декрементом затухания g = 1,05. Найти для вынужденных гармонических колебаний этой системы отношение максимальной амплитуды смещения Ар к амплитуде смещения при очень малой частоте внешнего воздействия Аω®0.

5.6.  Тело совершает установившиеся вынужденные колебания х(t) = А×cos(wt - a) под действием силы Fx = Fm×coswt. Найти:

а) среднюю потребляемую системой мощность <P>,

б) работу силы трения за пе­риод, считая, что сила трения пропорциональна скорости движения тела.

5.7.  Частота собственных затухающих колебаний подвешенного на пружине тела равна ωс. Считая, что коэффициент вязкого трения r известен, найти максимальную амплитуду колебаний тела под действием вертикальной силы F(t) = Fm×coswt. При какой частоте это произойдет?

5.8.  Для колебательной системы, описанной в предыдущей задаче, построить зависимости от частоты амплитуды вынужденных колебаний, амплитуд поглощения Ап и дисперсии Ад.

5.9.  Доказать, что при вынужденных колебаниях экстремумы амплитуды дисперсии наблюдаются при частотах вынуждающего воздействия ω @ ωр ± β.

5.10.  Частота свободных колебаний некоторой си­стемы wс = 50,0 рад×с-1, резонансная частота wр = 49,9 рад×с-1. Определить добротность Q этой системы.

5.11.  Найти резонансную частоту wр для некоторого механического осциллятора, если амплитуды смещений при вынужденных колебаниях этого осциллятора одинаковы при частотах w1 = 20 рад×с-1 и w2 = 40 рад×с-1.

5.12.  Определить частоту w*р, соответствующую резонансу скорости некоторого механического осциллятора (когда амплитуда скорости колеблющегося тела максимальна), если амплитуды скорости при частотах вынуждающей силы w1 = 10 рад×с-1 и w2 = 40 рад×с-1 одинаковы.

5.13.  При некоторой скорости движения поезда его вагоны особенно сильно раскачиваются на рессорах в результате периодических толчков колес о стыки рельс. Когда поезд стоит на станции, рессоры деформированы под нагрузкой вагонов на Dх = 10 см. Длина рельс l = 12,5 м. Определить по этим данным скорость движения поезда.

5.14.  На крутильный маятник, описанный в задаче 2.10, действует внешняя сила, момент которой меняется по закону N(t) = Nm×coswt. Определить работу сил трения, действующих в системе, за время, равное периоду колебаний. Установившиеся вынужденные колебания маятника происходят по закону: j = jm cos (wt - a).

5.15.  Грузик массы m = 100 г подвешен на невесомой пружинке с жесткостью k = 32,4 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы грузик совершает установившиеся колебания с частотой w = 17 рад×с-1. При этом колебания шарика отстают по фазе от вынуждаю­щей силы на a = p/4. Определить добротность данного осциллятора.

5.16.  Для определения собственной частоты незатухающих колебаний n0 некоторого осциллятора были измерены частота его затухающих колебаний nс = 499 Гц и резонансная nр = 498 Гц. Определить по этим результатам искомую частоту n0.

5.17.  Маятник колеблется с частотой nс = 6 Гц. При этом амплитуда седьмого колебания А7 оказалась в n = 12 раз меньше начальной А0. На какой частоте наступит резонанс в случае внешнего периодического воздействия на данный осциллятор?

5.18.  Грузик пружинного маятника массой т = 200 г совершает в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,2 кг/с установившиеся вынужденные колебания под действием силы F = Fmcoswt (Fm = 0,1 H). Жесткость пружины k = 20 Н/м. Определить для данной колебательной системы: а) коэффициент затухания b, б) амплитуду при резонансе Ар.

5.19.  По данным предыдущей задачи определить частоту собственных незатухающих колебаний w0, добротность Q и амплитуду при низких частотах Аω®0.

5.20.  Пружинный маятник, описанный в задаче 5.16, поместили в более вязкую среду с коэффициентом сопротивления r = 0,85 кг/с. Определить: а) резонансную частоту wр; б) резонансную амплитуду Ар; в) добротность Q.

5.21.  Для пружинного маятника, описанного в задаче 5.16, определить амплитуду вынужденных колебаний А при частоте вынуждающей силы в 1,5 раза большей, чем собственная (w0).

5.22.  Тело, подвешенное на пружине, совершает установившиеся вынужденные колебания под действием вертикальной силы F(t) = Fmcoswt. Во сколько раз изменится амплитуда вынужденных колебаний, если увеличить в n = 2 раза: а) массу груза m, б) коэффициент сопротивления среды r, в) амплитуду вынуждающей силы Fm.

5.23.  Ответить на вопросы задачи 5.22, для случая, когда частота вынуждающей силы w <<w0.

Волны

Волны – это распространяющиеся в пространстве изменения состояния среды, сопровождающиеся переносом энергии. В частности, механические (упругие) волны в каком-либо веществе представляют собой распространяющиеся в этом веществе механические напряжения, электромагнитные – распространяющееся электромагнитное поле. Упругие волны могут возникать в твердых, жидких и газообразных средах; электромагнитные – могут распространяться также и в вакууме.