Общие свойства гармонических колебаний (стр. 2 )

Ответ: H = A2w2/2g + g/2w2 = 25 см.

Задачи для самостоятельного решения.

1.5. Точка колеблется вдоль оси X по закону: x = Аcoswt. Построить зависимости: x1 = Аcos(wt + p/2), x2 = Аcos(wt + p) и x3 = Asin(wt + p).

1.6.  Частица движется по гармоническому закону, причем в начальный момент времени ее смещение от положения равновесия равно половине максимального (см. рис.). Опишите ее движение уравнениями x = A×cos(wt + j0) и A×sin(wt + j1).

1.7.  Шарик падает на пол с высоты h. Если удар шарика о пол упругий, будет ли движение шарика (а) колебательным, (б) периодическим и (в) гармоническим? Что изменится, если удары шарика о пол неупругие?

1.8.  Вектор, модуль которого равен А, вращается против часовой стрелки с угловой скоростью w. В начальный момент вектор составляет угол j0 с осью x. По какому закону изменяется проекция этого вектора на ось X?

1.9.  Частица колеблется вдоль оси x по закону: x = Аcoswt. Построить зависимости: а) x(t), ; б) .

1.10.  Рыбка перемещается вдоль стенки аквариума по закону: y = 0,2cospt (м). Найти среднюю величину скорости <V> и величину средней скорости |<V>| рыбки за один цикл.

1.11.  Частица колеблется по закону: x = 2cospt/3 (м). Найти среднюю скорость <V> частицы и средний модуль скорости <V> за время: а) от 1 с до 2 с; б) от 2 с до 4 с.

1.12.  Студент движется между химическим и физическим факультетами МГУ по закону x = 100×sinwt (м). Считая, что его максимальная скорость V0 = p м/c, определите, за какое время он сможет преодолеть расстояние от химфака до памятника Ломоносову? Какими будут величина его средней скорости и средняя величина скорости за один полный цикл химфак-физфак-химфак?

1.13.  Лектор перемещается вдоль доски по закону x = 5×sinwt (м). Его максимальная скорость при этом равна 360 м/час. Определите, какое время требуется лектору для того, чтобы пройти от одного крайнего положения до другого?

1.14.  В центре траектории лектора из предыдущей задачи находится доска длиной 5 м. Определите, за какое время он проследует мимо доски?

1.15.  Частица совершает гармонические колебания по оси x. В некоторый момент времени смещение частицы от среднего положения x1 = 0,3 м, ее скорость V1 = - 4 м/c и ускорение A1 = – 30 м/с2. Определите амплитуду и частоту колебаний.

1.16.  Зависимость скорости тела массы m = 1 кг от его координаты x представляет собой эллипс с полуосями A = 1 м и b = 0,628 м/c. Изобразить зависимости координаты и импульса тела от времени. Чему равен период колебаний тела?

1.17.  Грузик на пружинке с коэффициентом жесткости k совершает гармонические колебания с амплитудой А. Площадь его фазовой траектории (зависимости импульса грузика от его координаты) равна S. Определить период колебаний грузика.

1.18.  Амплитуда колебаний грузика на пружинке возросла в два раза. Во сколько раз увеличились энергия колебаний (а) и площадь его фазовой траектории (б).

1.19.  Два тела массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг находятся на гладкой горизонтальной поверхности и связаны пружиной (k = 1,5×102 Н/м), длина которой L = 12 см. Пружину сжимают на величину DL = 6 см и без толчка отпускают. Какова частота возникших колебаний? Определите амплитуды колебаний каждого тела.

1.20.  Грузик массой m подвешен на нерастяжимой нити, верхний конец которой перемещают по вертикали по закону: y = A×sinwt. Величина А постепенно растет. При каких минимальных А колебания грузика станут негармоническими? В каких точках начнется отклонение от гармонического закона колебаний грузика?

1.21.  Будут ли гармоническими колебания двух одинаковых грузиков массой m = 0,5 кг, связанных нерастяжимой нитью и подвешенных на пружине с коэффициентом жесткости k = 10 Н/м (см. рис.) при амплитуде колебаний: а) 9 см; б) 12 см.

1.22.  Брусок находится на горизонтальной подставке (см. рис.), которая начинает вибрировать в горизонтальной плоскости по закону x = A×sinwt. При какой минимальной амплитуде колебаний подставки движение бруска будет негармоническим, если коэффициент трения между ним и подставкой равен m?

1.23.  Шайба находится на горизонтальной подставке (рис.), которая может вибрировать в вертикальной и горизонтальной плоскостях по гармоническому закону с одной и той же частотой. При движении в вертикальной плоскости шайба начинает отрываться от подставки при амплитуде колебаний подставки А1, а при движении в горизонтальной плоскости начинает соскальзывать при амплитуде А2. Каков коэффициент трения шайбы о подставку?

1.24.  Брусок лежит на поверхности клина (см. рис.), составляющей с горизонтом угол a = 30°. Коэффициент трения между бруском и клином m = 0,7. Клин начинает вибрировать вдоль его ребра по закону А×cos10t (м). При какой минимальной амплитуде колебаний клина шайба начнет соскальзывать с его поверхности?

2. Свободные гармонические колебания одномерных механических и электрических осцилляторов.

При отсутствии потерь энергии в системе колебания могут оказаться гармоническими. Это происходит тогда, когда процессы в ней допускают описание дифференциальным уравнением вида (см. равенство 1.4):

, (2.1)

где x – отклонение какого-либо параметра, характеризующего систему, от равновесного значения, а w0 – константа. Уравнение (2.1) называется «дифференциальным уравнением гармонического осциллятора». Именно к такому виду приводятся уравнения, описывающие малые свободные колебания в хорошо известных простейших колебательных системах в отсутствии затухания: грузика на пружине, математического маятника и колебательного (LC) контура. Покажем, каким образом это можно сделать на примере несколько более сложных колебательных систем. Определим тем самым собственную частоту гармонических колебаний w0. Покажем, кроме того, как определяются амплитуда А и начальная фаза j0 из начальных условий, т. е. способа возбуждения колебаний в системе.

Задача

2.1.  Найти частоту малых свободных колебаний w0 физического маятника – тела произвольной формы, закрепленного на горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести. Момент инерции тела относительно этой оси равен J, его масса m, а расстояние от оси до центра тяжести тела равно b.

Решение

При отклонении тела от положения устойчивого равновесия (ось вращения и центр тяжести находятся на одной вертикали) появляется момент силы тяжести, действующей на тело, направленный против вектора его углового смещения a. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси будет иметь вид:

.

Знак минус здесь обусловлен тем, что направления векторов момента силы тяжести и углового смещения при любом положении тела противоположны. Как мы видим, данное дифференциальное уравнение не является линейным. Однако при малых углах (a << 1) sina » a*) и уравнение приобретает знакомую форму (2.1):

.

Сравнивая с уравнением (2.1), получаем частоту собственных колебаний физического маятника:

.

В частном случае математического маятника с учетом b = l и J = ml2 получим известное выражение:

.

Какова длина математического маятника, собственная частота которого совпадает с частотой данного физического маятника?

, .

Это значение называется приведенной длиной физического маятника.

Задача

2.2.  В устройстве, показанном на рисунке, блок представляет собой сплошной однородный цилиндр массой М = 8 кг, который может вращаться вокруг оси без трения. Масса груза т = 6 кг. Жесткость пружины k = 1000 H/м. Считая, что проскальзывание нити по блоку отсутствует, а сама нить невесома и нерастяжима, найти частоту малых колебаний груза w0.