Общие свойства гармонических колебаний (стр. 4 )

Любая система из N связанных осцилляторов может быть описана системой N дифференциальных уравнений, каждое из которых в общем случае зависит более, чем от одной переменной. Например, недиссипативная система, состоящая из двух одинаковых механических осцилляторов, между которыми имеется упругое взаимодействие (рис.3.1), в соответствии со вторым законом динамики описывается двумя уравнениями:

m - kx1 - k1(x1 – x2), (3.1)

m - kx2 + k1(x1 – x2). (3.2)

Здесь x1 и x2 – отклонения правой и левой масс m от положений равновесия, k и k1 – коэффициенты упругости крайних и средней пружин, соответственно. Эти уравнения в общем случае не являются дифференциальными уравнениями гармонических колебаний. Можно, однако, преобразовать эту систему таким образом, чтобы в каждое уравнение входила только одна функция и ее производные. В рассматриваемом случае такое преобразование легко провести, складывая и вычитая почленно уравнения (3.1) и (3.2). В результате такой процедуры получаем:

m – kxI, где xI = x1 + x2 ; (3.3)

m – (k + 2 k1)xII, где xII = x1 - x2 . (3.4)

Уравнения (3.2) и (3.2а) уже являются дифференциальными уравнениями, описывающими гармонические колебания (т. н. нормальные колебания, или нормальные моды):

xI = AI×cos (wIt + jI), где ; (3.3,а)

xII = AII cos (wIIt + jII), где . (3.4,а)

Соответствующие новые переменные xI и xII называются нормальными координатами. Движение каждого из осцилляторов, как следует из (3.3) и (3.4), представляет собой наложение нормальных мод:

x1 = (xI + xII)/2; x2 = (xI - xII)/2. (3.5)

Если в рассматриваемой системе возбуждена только первая нормальная мода (xII = 0), то x1 = x2 = xI/2 и оба осциллятора на рис.3.1 совершают синфазные гармонические колебания с частотой wI (при этом средняя пружина «не работает» и частота wI совпадает с собственной частотой одного свободного осциллятора). При возбуждении только второй нормальной моды (xI = 0) из (3.5) следует, что x1 = -x2 = xII/2, т. е. осцилляторы совершают гармонические колебания с частотой wII, двигаясь в противофазе. В общем случае колебательное движение каждого осциллятора представляет собой наложение двух нормальных гармонических колебаний с частотами wI и wII. Амплитуды (AI и AII) и начальные фазы (jI и jII) нормальных мод можно определить из начальных условий конкретной физической задачи – начальных смещений и начальных скоростей каждого осциллятора.

Несколько труднее определять нормальные координаты и частоты нормальных колебаний для «несимметричных» систем связанных осцилляторов. Например, для системы, показанной на рис.3.2, исходные уравнения динамики таковы:

m - kx1 - k(x1 – x2), (3.6)

2m– kx2 + k(x1 – x2). (3.7)

Разделив (3.6) на m, а (3.7) на 2m и обозначая k/m = а, получаем:

– 2аx1 + аx2, (3.6,а)

– аx2 + аx1/3. (3.7,а)

Будем искать нормальные координаты x в виде линейной комбинации x1 и x2:

x = x1 + nx2 , (3.8)

где n - искомые постоянные коэффициенты (разные для разных нормальных мод). Умножим (3.7,а) на n и сложим почленно (3.6,а) и (3.7,а):

+ n-x1а(2 - n/2) - x2а(n - 1). (3.9)

Для того, чтобы (3.9) было дифференциальным уравнением гармонических колебаний, необходимо выполнение условия:

а(n - 1) = nа(2 - n/2), или иначе аn2 - 2аn - 2 = 0; (3.10)

Из уравнения (3.10) получаем два возможных значения n, соответствующих двум нормальным модам:

nI = 1 + и nII = 1 - . (3.11)

Поскольку ( + n) = - w2 (x1 + nx2 ), из уравнения (3.9) следует, что а(2 - n/2) = w2 (здесь w - собственная частота соответствующих нормальных колебаний). Используя (3.11), получаем частоты двух нормальных мод:

wI2 = (3 -) и wII2 = (3 +). (3.12)

Нормальные координаты равны при этом:

xI = x1 + nIx2; xII = x1 + nIIx2 (3.8,a)

Если в системе возбуждена только первая мода xII = 0, то при этом из (3.8,а) и (3.11) следует, что отношение амплитуд колебаний двух осцилляторов CI = (x1/x2)I = - nII = ( - 1) @ 0,73 . Аналогично, при возбуждении только второй моды CII = (x1/x2)II = - nI = -( + 1) @ - 2,73. Первой (низкочастотной) моде, как и для «симметричной» системы (рис.3.1), соответствует синфазное движение обоих осцилляторов, второй (высокочастотной) – противофазное. Однако амплитуды колебаний двух осцилляторов теперь разные.

Учитывая, что при возбуждении в любой системе только одной нормальной моды колебания отдельных осцилляторов происходят либо в фазе, либо в противофазе, можно определить частоты нормальных колебаний следующим общим методом.

Будем искать решение уравнений (3.6,а) и (3.7,а) в виде:

x1 = A cos wt , x2 = B cos wt, (3.13)

где A и B – амплитуды колебаний, w - искомая частота нормальных колебаний. После подстановки (3.13) в (3.6,а) и (3.7,а) получаем два уравнения с двумя неизвестными (w и С = А/В):

w2C = 2аC - а, (3.6,б)

w2 = а – аC/3. (3.7,б)

Легко убедиться, что решения уравнений (3.6,б) и (3.7,б) для частот нормальных мод (wI и wII) и отношений амплитуд колебаний отдельных осцилляторов CI и CII совпадают с полученными ранее. Поскольку CI = - nII, а CII = - nI, легко найти линейные комбинации координат осцилляторов x1 и x2, соответствующие двум колебательным модам (3.8).

Покажем, что аналогично решаются задачи, в которых требуется найти колебательные характеристики системы связанных электрических контуров. Пусть, например, нужно определить, как изменяются со временем заряды на конденсаторах в системе, состоящей из двух одинаковых LC-контуров. Связь между контурами осуществляется через емкость C1 (рис.3.3).

Совершая обход по двум малым контурам и используя второе правило Кирхгофа, получаем:

-L = q1/C + q/C1, (3.14)

-L = q2/C + q/C1. (3.15)

Здесь q1, q2 и q – заряды на левом, правом и среднем конденсаторах, соответственно; I1 и I2 – токи через левый и правый конденсаторы. Поскольку I1 , a I2 , система уравнений (3.14) и (3.15) преобразуется к виду:

-L q1/C + q/C1, (3.14,а)

-L q2/C + q/C1. (3.15,б)

Сложим, а затем вычтем почленно уравнения (3.14,а), (3.15,а); учитывая что из-за электронейтральности системы q1 + q2 + q = 0, получим два независимых дифференциальных уравнения, описывающих нормальные колебания:

-L qI/C + 2qI/C1, (3.16)

-L qII/C. (3.17)

Уравнения полностью (3.16) и (3.17) аналогичны уравнениям (3.4) и (3.3) соответственно. Здесь нормальные координаты qI = q1 + q2 , qII = q1 - q2; решения уравнений (3.16) и (3.17) представляют собой нормальные моды: