Общие свойства гармонических колебаний (стр. 8 )

4.9.  * В колебательной системе, описанной в задаче 2.23, использованы две одинаковые пружины и груз, про которые известно, что если брусок подвесить на одной из этих пружин, то она растянется на а = 10 см. Коэффициент трения скольжения бруска о поверхность стола равен m = 0,1. Первоначально брусок отводят влево на x0 = 5,3 см и отпускают без толчка. Массы пружинок и трение пренебрежимо малы. В положении равновесия (x = 0) пружинки не деформированы. Определите координату груза после его остановки.

4.10.  В процессе свободных затухающих колебаний пружинного маятника, рассмотренного в задаче 4.1, оказалось, что за время t1 = 12 с амплитуда колебаний грузика уменьша­ется в n1 = 10 раз. За какое время t2 амплитуда уменьшится в n2 = 1000 раз?

4.11.  Определите зависимость смещения тела m от времени для пружинного маятника в вязкой среде, рассмотренного в задаче 4.1, если коэффициент вязкости среды увеличен до значения r = 400 кг/с. Начальная скорость тела V(0) = V0 = 1 м/с.

4.12.  В процессе свободных затухающих колебаний пружинного маятника в вязкой среде за время Dt = 22 с амплитуда колебаний умень­шается в h = 3 раза. а) Найти коэффициент затухания колебаний b. б) За какое время tA амплитуда колебаний уменьшается в е раз?

4.13.  За время, в течение которого система совершает N = 100 колебаний, их амплитуда уменьшается в h = 9 раз. Определите добротность такой колебательной системы Q.

4.14.  Амплитуда затухающих электромагнитных колебаний в колебательном контуре уменьшается в е раз за t = 10-2 с. Частота этих колебаний равна nс = 102 Гц. Определите собственную частоту в отсутствие затухания в данном контуре n0.

4.15.  Определите добротность Q электрического колебательного контура, состоящего из конденсатора с емкостью С = 0,1 мкФ, катушки индуктивности L = 10 мГн и резистора с сопротивлением R = 20 Ом.

4.16.  В условиях предыдущей задачи определите, какую относительную погрешность мы сделаем, вычис­лив добротность по приближенной формуле Q1 = ?

4.17.  Добротность электрического колебательного контура равна Q = 144, а его собственная часто­та колебаний n0 = 2 кГц. В контуре возбуждают зату­хающие колебания. Определите: а) Как меняется со временем колебательная энергия, запасенная в контуре W = W(t). б) Какая часть первона­чальной энергии W0 сохранится в контуре по истечении времени t1 = 8 мс?

4.18.  Найдите период малых колебаний однородного диска радиуса R = 13 см, который может вра­щаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Логарифмиче­ский декремент затухания равен g = 1.

4.19.  Амплитуда колебаний маятника через t = 40 сек после начала его колебаний уменьшилась до A1 = 1 см. Через какое время амплитуда будет равна A2 = 0,1 см, если начальная амплитуда колебаний этого маятника A0 = 10 см.

4.20.  * После подключения к электрической схеме измерительного прибора три последовательных крайних положения его качающейся стрелки оказались против делений 30, 20 и 24. Считая декремент затухания по­стоянным, определите по этим данным положение равновесия стрелки.

4.21.  Музыкальный камер­тон имеет собственную частоту колебаний n = 1000 Гц. Через какое время громкость его звучания уменьшится в п = 106 раз, если логарифмический декремент затухания равен g = 0,0006?

4.22.  Последовательный резонансный колебательный контур состоит из конденсатора емкости С, катушки индуктивности L, сопротивления, равного критическому для данного конту­ра и ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до на­пряжения U0 после чего ключ замкнули. Найдите ток I в контуре как функцию времени t. Чему равна при этом максимальная сила тока в контуре Imax?

4.23. 

R

C

Найдите закон изменения заряда на конденсаторе для контура, показанного на рисунке. Параметры контура С, L и R считать известными. Определите, при каком значении активного сопротивления R затухающие колеба­ния переходят в релаксацию.

5.  Вынужденные колебания.

Наибольший практический интерес представляют вынужденные колебания при внешнем гармоническом воздействии – силы F(t) = Fm×coswt в случае механической колебательной системы. В этом случае в уравнении, описывающем колебательный процесс, в правой части появляется соответствующая гармоническая функция:

, (5.1)

(Fm = fm/m) а его частное решение имеет вид:

x(t) = A×cos(wt – a). (5.2)

Такое колебательное движение будет иметь место в системе по истечению времени установления вынужденных колебаний t >> 1/b, когда собственные колебания затухнут. Обратим внимание на то, что вынужденные колебания происходят на частоте вынуждающего воздействия w и имеют по отношению к нему фазовое запаздывание a. Величина амплитуды А и a зависят от соотношения частот вынуждающего воздействия w и собственных колебаний w0. Найдем выражения для величин и :

= –Aw×sin(wt – a) = Aw×cos(wt – a + p/2). (5.3)

= –Aw2×cos(wt – a) = Aw2×cos(wt – a + p). (5.4)

Как видим, эти величины опережают x(t) на p/2 и p, соответственно.

Весьма наглядными амплитудные и фазовые соотношения между колебаниями, делает векторная форма представления колебаний. В частности, она позволяет качественно и количественно описывать вынужденные колебания. Каждой гармонической функции можно сопоставить вектор на плоскости, длина которого равна амплитуде колебания, а полярный угол – его фазе. Для гармонических колебаний этот вектор вращается относительно начала координат (точки О) против часовой стрелки с угловой скоростью w, равной частоте колебаний. Проекция вектора на ось Х и дает значение гармонической функции.

Для определения амплитуды вынужденных колебаний А и фазового сдвига a достаточно провести сложение векторов

, соответствующих гармоническим функциям в левой части уравнения (5.1). Результат соответствует функции F(t)/m. Направим вектор ×x(t) по горизонтали вправо. На рисунке 5.1 представлены также векторы, соответствующие функциям 2b и . Как следует из (5.3) и (5.4), они опережают по фазе x(t) на p/2 и p и соответственно. Из рис. 5.1 следует, что

; (5.5)

. (5.6)

Представленные выражения определяют амплитудную и фазовую зависимости амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты вынуждающего воздействия. Амплитудная зависимость имеет максимум при резонансной частоте

. (5.7)

Т. о. резонанс – явление, которое состоит в том, что амплитуда вынужденных колебаний оказывается максимальной при частоте внешнего воздействия, определяемой равенством (5.7).

При малом затухании в системе (b << w0) можно пренебречь отличием резонансной частоты wр от собственной w0 и записать ряд полезных соотношений. Проделаем это на примере конкретной колебательной системы.

Задача

5.1.  Свободные колебания железного стержня, подвешенного на пружине, происходят с частотой wс = 20 рад×с-1, причем амплитуда колебаний уменьшается в h = 5 раз в течение вре­мени tη = ln5 » 1,61 с. Вблизи нижнего конца стержня помещена катушка, питаемая переменным током (см. рисунок). Считая, что амплитуда вынуждающей силы неизменна, найти:

а) коэффициент затухания b,