Программа дисциплины «Вычислительная математика» (стр. 3 )

Содержание курсовой работы: Программная реализация численного алгоритма решения прикладной задачи.

Состав курсовой работы:

1)Выбор математической модели решения прикладной задачи.

2)Выбор численного алгоритма решения прикладной задачи.

3)Разработка блок–схемы алгоритма

4)Программная реализация алгоритма.

5)Выполнение серии расчетов для анализа задачи.

6)Интерпретация, оформление и представление результатов.

7.Формы контроля знаний студентов.

Текущий контроль: Еженедельный отчет по лабораторным работам с выставлением оцен­ки в электронной технологической карте и учетом комплексного рейтинга учебной ак­тивности..

Промежуточный контроль: Осуществляется по контрольным точкам в соответствии электронной технологической картой дисциплины.

Итоговый контроль: Экзамен по итогам семестра.

8.Темы и контрольные вопросы для
самостоятельной работы студентов.

1.  Задача интерполяции. Интерполяция сплайнами.

2.  Задача аппроксимации. Использование метода наименьших квадратов для аппроксимации разных видов функций.

3.  Задача аппроксимации в анализе динамических рядов.

4.  Методы численного решения систем линейных уравнений с большим числом неизвестных.

5.  Численные методы решения задачи о собственных числах и векторах квадратной матрицы.

6.  Решение нелинейного уравнения. Отделение корней с построеним графиков функций на ЭВМ.

7.  Решение нелинейного уравнения. Сравнение эфективности различных методов уточнения корня.

8.  Решение систем нелинейных уравнений. Сравнение эфективности различных методов уточнения корня и методов, используемых в Excel и MathCad.

9.  Методы приближенного вычисления определенных интегралов. Анализ эффективности методов статистических испытаний.

10.Формулировка задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения на примере прикладной задачи.

11.Формулировка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения на примере прикладной задачи.

12.Сопоставление эффективности методов Эйлера и Рунге–Кутта решения обыкновенного дифференциального уравнения.

9.Перечень вопросов к экзамену.

1.Какая точность будет достигнута при решении нелинейного уравнения ме­то­дом деления по­полам за N шагов? Сколько надо сделать шагов, чтобы получить за­данную точность?

2.Проиллюстрировать графически случай, когда при решении нелинейного урав­­­не­ния ме­тод деления пополам дает на первом шаге большую точность, чем ме­­тод хорд.

3.Проиллюстрировать графически случай, когда при решении нелинейного урав­не­ния ме­тод деления пополам дает на первом шаге большую точность, чем ме­­тод касательных.

4.Проиллюстрировать графически случай, когда при решении нелинейного урав­­не­ния на на­чальном отрезке имеется единственный корень, но комбиниро­ван­­ный метод не применим.

5.Какова связь методов касательных и итераций для решения нелинейного урав­нения?

6.Какова связь упрощенного метода касательных и метода итераций для ре­ше­ния не­ли­ней­ного урав­нения?

7.Какова связь методов хорд и итераций для решения нелинейного урав­нения? (Рас­смот­реть случай, когда метод хорд на всех шагах дает приближение слева.)

8.Проиллюстрировать графически 3 случая решения нелинейного уравнения с от­­­ри­ца­тель­ным корнем: а)метод итераций расходится; б)метод итераций схо­дит­­ся, приближаясь к кор­ню с одной стороны; в)метод итераций схо­дит­ся, при­бли­жаясь к корню с двух сторон.

9.Можно ли искать методом итераций корень x=3 уравнения x=x3–x2–18?

10.Привести примеры систем из 4 линейных уравнений, которые: а)можно ре­шать ме­то­дом итераций; б)нельзя ре­шать методом итераций; а)можно ре­шать ме­тодом итераций то­ль­ко после перестановки уравнений.

11.Привести примеры системы из 3 линейных уравнений, при решении которых методом Га­усса на втором шаге выясняется, что: а)система не имеет решения; б)сис­тема имеет бес­ко­нечное множество решений.

12.Привести пример вычисления определителя третьего порядка методом Гаус­са.

13.Привести пример вычисления обратной матрицы размерности 3:3 методом Га­ус­­са.

14.Подобрать матрицу A (размерности2:2) и вектор X так, чтобы норма их про­из­­ведения бы­ла равна норме матрицы A.

15.Сколько собственных чисел и собственных векторов может быть у матрицы?

16.Какой вектор мы получим, увеличив все компоненты собственного вектора мат­рицы в 3,5 раза?

17.Что произойдет с собственными числами и собственными векторами мат­ри­цы, если все ее элементы уменьшить в 1,5 раза?

18.Вывести формулы метода Ньютона для решения системы четырех не­ли­ней­ных урав­не­ний.

19.Записать формулы метода Ньютона для решения системы нелинейных урав­не­ний с ис­поль­зованием определителей.

20.Сформулировать и обосновать критерии остановки для процесса решения сис­­темы не­ли­нейных уравнений методом итераций.

21.Проиллюстрировать графически случаи, когда вычисление определенного ин­теграла по фор­муле трапеций дает значение а)с избытком; б)с недостатком.

22.Для полиномов какой степени даст точный результа вычисление опре­де­лен­но­го ин­тег­ра­ла по формуле а)трапеций, б)прямоугольников с центральной точкой, в)парабол?

23.Как нужно изменить шаг, чтобы в 10 раз повысить точность вычисления оп­ре­­деленного ин­теграла по формуле трапеций?

24.Как нужно изменить шаг, чтобы в 10 раз повысить точность вычисления оп­ределенного ин­теграла по формуле Симпсона?

25.Какому методу эквивалентно вы­чис­ле­ние определенного интеграла, как сред­­­­него ариф­ме­тического первой и второй формул прямоуголь­ни­ков?

26.Какому методу эквивалентно вы­чис­ле­ние определенного интеграла, как сред­­­­­­него ме­то­дов прямогольников с центральной точкой (с весом 2) и трапеций

(с весом 1)?

27.В каком случае вычисление определенного интеграла методом Монте–Карло га­ран­ти­ро­ванно даст точный результат при 3–х испытаниях?

28.Проведено вычисление определенного интеграла на [3, 8] по 1–му ва­ри­ан­ту ме­тода Мон­те–Карло с учетом того, что подинтегральная функции положитель­­­на и ее значение не превышает 6. При этом в 400 из тысячи испытаний по­лу­­чено значение, не пре­вы­ша­ю­щее значение подинтегральной функции. Оце­нить зна­че­ние определенного интеграла.

29.Проведено вычисление определенного интеграла на [3, 8] по 2–му ва­ри­ан­ту ме­тода Мон­те–Карло. При этом из тысячи испытаний в 200 по­лу­чено значение 4, в 500 – 7, а в ос­таль­ных – 10. Оце­нить значение определенного интеграла.

30.Приведите пример исходных данных, аппроксимация которых полиномом пя­­­той сте­пе­ни даст тот же результат, что аппроксимация полиномом шестой сте­пени, но отличный от ап­проксимации полиномом четвертой степени?

31.Получите систему нормальных уравнений для аппроксимации функции од­ной пе­ре­мен­ной полиномом 3–го порядка по экспериментальным данным.

32.Получите систему нормальных уравнений для аппроксимации функции од­ной пе­ре­мен­ной полиномом 4–го порядка по экспериментальным данным, если из­вест­но, что график фун­к­ции проходит через начало координат.

33.Получите систему нормальных уравнений для аппроксимации функции двух пе­ре­мен­ных полиномом 2–го порядка относительно этих переменных по экс­пе­ри­ментальным дан­ным.

34.Покажите справедливость интерполяционной формулы Ньютона для равно­от­сто­ящих то­чек при интер­по­ляции по 4–м точкам.

35.Покажите справедливость интерполяционной формулы Ньютона для не­рав­но­­от­сто­я­щих точек при интер­по­ляции по 4–м точкам.

36.Запишите систему уравнений для определения коэффициентов кубических сплайнов при локальной интерполяции на отрезке, разбитом на 3 участка.

37.Алгоритм решения уравнения методом хорд.

38.Алгоритм решения уравнения методом касательных.

39.Алгоритм решения уравнения упрощенным методом касательных.

40.Алгоритм решения уравнения методом секущих.

41.Алгоритм решения уравнения комбинированным методом.

42.Алгоритм решения уравнения методом простых итераций.

43.Алгоритм поиска точки равновесия спроса и предложения методом итера­ций.

44.Алгоритм расчета коэффициентов интерполяционного полинома путем ре­ше­ния сис­те­мы линейных уравнений методом Гаусса (по схеме с един­ственным де­лением).

45.Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса (по схеме с единст­вен­ным делением) с учетом осо­­бых случаев.

46.Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса с выбором ве­­дущего эле­мента.

47.Алгоритм вычисления определителя методом Гаусса (по схеме с един­ст­вен­ным де­ле­ни­ем).

48.Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса (по схеме с един­ст­вен­ным де­лением).

49.Алгоритм простых ите­ра­ций для решения системы линейных уравнений.

50.Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Зейделя.

51.Алгоритм вычисления собственного вектора матрицы методом обратных итераций.

52.Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона.

53.Алгоритм решения системы нелинейных уравнений упрощенным методом Ньютона.

54.Алгоритм простых ите­ра­ций для решения системы нелинейных уравнений.

55.Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Зейделя.

56.Алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле пря­мо­у­голь­ни­ков с цент­раль­ной точкой.

57.Алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле трапеций.

58.Алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона.

59.Алгоритм вычисления определенного интеграла по 1–му варианту метода Монте–Кар­ло.

60.Алгоритм вычисления определенного интеграла по 2–му варианту метода Монте–Кар­ло.

61.Алгоритм уточнения определенного интеграла методом двойного пересчета.

62.Алгоритм формирования системы нормальных уравнений для аппроксима­ции данных по­линомом (функция одной переменной).

63.Алгоритм линейной аппроксимации функции одной переменной.

64.Алгоритм аппроксимации данных степенной функцией.

65.Алгоритм аппроксимации данных показательной функцией.

66.Алгоритм аппроксимации данных о спросе функцией Торнквиста I–го рода.

67.Алгоритм формирования системы нормальных уравнений для аппроксима­ции данных ли­нейной функцией двух переменных.